Question

已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若角F1PF2=90度,求椭圆离心率的取值范围

我自己算了一下 是用的余弦定理来表示写的可是是错的 能不能用余弦的那种方法写一写 越详细越好 非常感谢@@@@@！
它到两个焦点的距离分别是a+ex,a-ex 我这样表示 COS90=0 的来算的

Answer 1

对直角三角形的直角边使用余弦定理，其实就是勾股定理
因为cos90°=0嘛。。
PF1+PF2=2a
PF1²+PF2²=4c²
∵2(PF1²+PF2²)≥(PF1+PF2)²
∴2*4c²≥(2a)²
e=c/a
2(c/a)²≥1
e≥√2/2
因此
√2/2≤e<1

如果认为讲解不够清楚，请追问。
祝：学习进步！

追问

不好意思 我想问我这样可不可以做 麻烦讲解一下
两个焦点的距离分别是a+ex,a-ex
cosA=PF1^2+PF2^2-4c^2/2PF1PF2
（a^2+e^2x^2-c)(a^2-e^2x^2)=0
然后 把X表示出来 且0<=X^2<1 解出来

追答

抱歉，我第一次看到题目时您好像没写后面那句话“它到两个焦点的距离分别是a+ex,a-ex 我这样表示 COS90=0 的来算”

对于您提出的方法，我有两个疑问
1.（a^2+e^2x^2-c)(a^2-e^2x^2)=0这个式子您是如何得出的？
2.0<=X^2<1这个范围是怎么得到的？

关于1.我觉得您是打错了吧。实际上他的本质部分是PF1^2+PF2^2-4c^2=0，这说白了就是勾股定理
关于2.题目中没有任何定点的信息，X^2<1，这个1就无从谈起了。

您解题时有自己的想法，这非常好，至于哪一种方法合适，是需要长时间积累的。
就我们提出的这两种方法，我可以简单的跟您分析一下：（我并不是想自吹我的方法多么好，问题都可以交流的哈）
我提出的方法中，经过前面简单的化简，就只剩下了构成椭圆的三个必要元素a,b,c，其他东西都消失了，离心率e也是跟这三个量直接相关，所以总体来说没有走什么弯路。
您提出的方法中，我看的出来您是想利用椭圆的第二定义，通过这种方式来引出离心率e，但是问题在于引出e的同时还引出了一个变量x，而且您最后的求解也是基于x的，这未免有避重就轻之嫌。

考场上时间都是飞逝而过，相信您也有体会，按照您的方法，计算量会增大不少，思维的难度也很高，因为最后的不等式并不容易列出，即便求出了x的范围，还要花功夫去转化成e的范围，实在是很不划算。

说这么多，是希望您能好好体会一下各种方法的优劣，逐渐学会如何找到最合适的方法。