Question

设函数y=x^3+ax^2+bx若函数y图像上的点（1.2）处的切线斜率为4判断函数单调性

2已知b=2a是函数y在-1到正无穷上单调递增求实数a的取值范围

Answer 1

1. y'=3x^2+2ax+b
由题意，有
y(1)=1+a+b=2，即a+b=1
y'(1)=3+2a+b=4,即2a+b=1
两式相减得：a=0,
故b=1
所以y'=3x^2+1>0,因此函数在R上单调增

2. b=2a,
当x>-1时，有y'=3x^2+2ax+2a>=0
即a>=-3x^2/[2(x+1)]=g(x)
令t=x+1>0
则g(x)=-3(t-1)^2/(2t)=-3/2*(t+1/t-2)
t>0时，有t+1/t>=2
所以g(x)<=0
故a的取值范围是a>=0

Answer 2

(1) y=x³+ax²+bx
y'=3x²+a
当x=1时 y'=4
即 a=1
则 y'=3x²+1>0
函数y=x³+ax²+bx 单调增
(2) 当 b=2a时
y=x³+ax²+2ax
y'=3x²+2ax+2a
=3(x+a/3)²+2a-a²/3
当x>-1时 y'>0
-a/3<-1
2a-a²/3>0
得 3<a<6