Question

数学：已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF于点E．

（1）延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
（2）在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)AE=EP.
证明:设AB=X,BE=Y,则EC=X-Y.
作PG垂直BC的延长线于G,易知PG=CG,设
∠BAE+∠AEB=90°=∠AEB+∠PEC,则:∠BAE=∠PEC;
又∠B=∠PGE=90°.
故⊿ABE∽⊿EGP,AB/BE=EG/PG,即:X/Y=[(X-Y)+CG]/PG=(X-Y+PG)/PG,PG=Y.
即PG=BE.则:⊿ABE≌ΔEGP(相似比为1的两个三角形全等),得AE=EP.
(2)AB边上存在这样的点M,而且有无数个.
作DM垂直AE,交AB于M,同理可证:⊿DAM≌ΔABE,则DM=AE=EP;
又PE垂直AE,则PE平行于DM.
所以,四边形DMEP为平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
(即只要保证DM垂直于AE,则该四边形就是平行四边形)

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Answer 2

同学您好
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分析：（1）在AB上取BH=BE，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECP，从而得到AE=EP；
（2）先证△DAM≌△ABE，进而可得四边形DMEP是平行四边形．

（1）结论：AE=PE．理由如下：（1分）
在AB上截取BN=BE．（2分）
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠B=90°．
∴AN=EC，∠1=∠2=45°．
∴∠4=135°．
∵CP为正方形ABCD的外角平分线，
∴∠PCE=135°．∴∠PCE=∠4．
∵∠AEP=90°，∴∠BEA+∠3=90°．
∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠3=∠BAE．
∴△ANE≌△ECP．
∴AE=EP．（3分）

（2）解：存在点M使得四边形DMEP是平行四边形．（4分）
理由如下：过点D作DM∥PE，交AE于点K，交AB于点M，连接ME、DP．（5分）
∴∠AKD=∠AEP=90°．
∵∠BAD=90°，∴∠ADM+∠AMD=90°，∠MAK+∠AMD=90°．
∴∠ADM=∠MAK．
∵AD=AB，∠B=∠DAB，
∴△AMD≌△BEA．（6分）
∴DM=AE．∴DM=EP．
∴四边形DMEP为平行四边形．（7分）

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