Question

已知函数f(x)=x²-2(a+1)x+a²+1，x属于R 1 若a属于R，解关于x的不等式f(x)＜0

2 若X属于闭区间0到2，f(x)≥a²（1-X）恒成立，求a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=x²-2(a+1)x+a²+1，x属于R，1、若a属于R，解关于x的不等式f(x)＜0，2、若X属于闭区间0到2，f(x)≥a²（1-X）恒成立，求a的取值范围
(1)解析：f(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+1<0
⊿=4(a+1)^2-4a^2-4=8a
当a<=0时，f(x)>0,不等式f(x)＜0无解；
当a>0时，x1=(a+1)-√(2a)，x2=(a+1)+√(2a)
(a+1)-√(2a)<x<(a+1)+√(2a)

(2)解析：∵当x∈[0,2], f(x)≥a²（1-X）恒成立
设f(x)-a^2(1-x)=g(x)=x^2+(a^2-2a-2)x+1
g(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=-(a^2-2a-2)/2
当对称轴x<=0时
-(a^2-2a-2)/2<=0==> a^2-2a-2>=0==>a<=1-√3或a>=1+√3
当对称轴x>=2时
-(a^2-2a-2)/2>=2==> a^2-2a+2<=0，无解
当对称轴x∈(0,2)时
0<-(a^2-2a-2)<4==>-4<a^2-2a-2<0
a^2-2a+2>0==>a∈R
a^2-2a-2<0==>1-√3<a<1+√3
取二者交1-√3<a<1+√3
g(x)最小值为(4-(a^2-2a-2)^2)/4=1-(a^2-2a-2)^2/4>=0==>(a^2-2a-2)^2<=4
-2<=a^2-2a-2<=2
0<=a^2-2a==>a<=0或a>=2
a^2-2a-4<=0==>1-√5<=a<=1+√5
取二者交1-√5<=a<=0或2<=a<=1+√5
再与1-√3<a<1+√3取交
1-√3<=a<=0或2<=a<=1+√3

综上：当x∈[0,2], f(x)≥a²（1-X）恒成立，a的取值范围为a<=0或a>=2