Question

如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：若AD=5BD=12，求DE的长

Answer 1

证明：

∵△ACB和△ECD为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°

∴AB=BC，CE=DC，∠B=∠5=45º   ∠1=∠2（等量代换）

在△AEC和△BDC中

      AB=BC

     ∠1=∠2

     CE=DC

∴△AEC≌△BDC（SAS）

∴AE=BD=12，∠B=∠4=45°

又 ∠5=45°

∴∠EAD=∠4+∠5=90°

∴△ADE为直角三角形

根据勾股定理得：

   DE²=AE²+AD²  = 12²+5²

        解得：

      DE=13

 

Answer 2

解：因为三角形ACB是等腰直角三角形
所以由勾股定理得：
AB^2=AC^2+BC^2
AC=BC
角DAC=45度
AB=AD+BD
因为AD=5BD=12
所以AB=72/5
AC=36根号2/5
在三角形ADC中，由余弦定理得：
cos角DAC=cos45=(AD^2+AC^2-DC^2)
DC=12根号13/5
因为三角形DCE是等腰直角三角形
所以由勾股定理得：
DE^2=DC^2+CE^2
DC=CE
所以DE=12根号26/5

Answer 3

解：因为 三角形ACB和三角形ECD都是等腰三角形，
所以 AC=BC, EC=DC,
因为 角ACB=角ECD=90度，
所以 角ACE=角BCD,
所以 三角形ACE全等于三角形BCD,
所以 AE=BD=4, 角EAC=角B,
因为 三角形ACB是等腰三角形，角ACB=90度，
所以 角CAB=角B=45度，
所以 角EAC=角B=45度，
所以 角EAD=角EAC+角CAB=90度，
因为 角EAD=90度，AE=4, AD=3,
所以 ED=5