Question

已知函数f（x）=Inx-ax+1，a∈R是常数 （1）求函数y=f（x）的图像在点P（1，f（1））处的切线

l的方程，并证明函数y=f（x）（x≠1）的图像在直线l的下方
（2）讨论函数y=f（x）零点的个数

Answer 1

(1)
f'(x)=1/x-a
f'(1)=1-a
f(1)=1-a
l: y=(1-a)x
g(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1
g'(x)=1/x-1
0<x<1,g'(x)>0
x>1,g'(x)<0
g(x)max=g(1)=0
g(x)<=0
f(x)在直线的下方。
(2)
f(x)的零点即 F(x)=lnx+1 与 G(x)=ax的交点
先求相切的情况
F'(x)=1/x,G'(x)=a
令1/x=a，x=1/a.
此时，F(1/a)=-lna+1, G(1/a)=1
-lna+1=1
a=1
当a=1时，f(x)与G(x)相切于点（1，1）
由图象可知（G(x)是通过原点的直线，F(x)是把Lnx上移一个单位），
a>1,无交点；
a=1，一个交点；
0<a<1,两个交点；
a<=0,一个交点。