Question

已知函数,若对所有都有,求实数a的取值范围

已知函数f(x)=xlnx. (1)若对所有x>=1都有f(x)>=ax-1,求实数a的取值范围

我看网上的人都是直接f(x)min大于等于右边。
但右边不是有自变量吗？不是应该先移项再做吗？

过程。谢谢。

Answer 1

解：令g(x)=f(x)-(ax-1）=xlnx-ax+1 ，x>=1,则由题意得g(x)恒大于等于0
又g'(x)=lnx+1-a+1=lnx+2-a=0 得x=e^(a-2)
当x>e^(a-2)时，g'(x)>0，
当x<e^(a-2)时 g'(x)< 0,
若e^(a-2)<=1,即a<2时 ，g'(x)在x>=1定义域内单调递增，且最小值为g(1)=-a+1 ,由题意当x>=1时g(x)>=0,所以g(1)=-a+1=>0，即a<=1 ， 整理合并得 a<=1
若e^(a-2)>=1，即a>=2,g(x)在x=e^(a-2)处取得最小值g[e^（a-2）]=[e^(a-2) ]* (a-2)-ae^(a-2)+1=1-2e^(2-a)>=0，即e^(a-2)<1/2 ,a-2<-ln2 , a<2-2ln2与 a>=2矛盾，舍去
综上，a的取值范围为a<=1

Answer 2

解： f(x) ≥ ax-1 且 x>=1 移项得 [ f(x)+1 ] / X ≥ a
设g(x)=[ f(x)+1 ] / X g'(x)= 1/ x - 1/ x^2
g'(1)=0 在X=1处 取得最小值 g(x)≥g(1)=1 故a≤1

Answer 3

既然F（x）min，已经是最小值，变量已经确认，所以一开始就可以不用讨论x了