Question

设函数f（x）=x^2e^（x-1）-1/3x^3-x^2 X∈R 1求函数y=f（x）的单调区间 2求f（x）在【-1,2】上的最小值

3在x∈（1，正无穷）是用数学归纳法证明n∈N* e^X-1dayu6x^n/n！

主要是过程 谢谢！！！

Answer 1

(1)f'(x)=(x^2+2x)·[e^(x-1)-1]
导数大于0时
解得x>1，x∈（-2，0）
导数小于0时
解x<-2 ，x∈（0，1）
则有f(x)在区间（-2，0），（1，正无穷）
(2)最小值是1/e^2-2/3
(3)当n=1时 e^(x-1)>x 因为对于函数f(x)= e^(x-1)-x,f'(x)=e^(x-1)-1， 当x>1时,f'(x)>0,所以当x>1时f(x)= e^(x-1)-x为增函数，f(1)=0 所以 当x>1时f(x)>0 e^(x-1)>x
2 设n=k时， e^(x-1)>x ^k/k!
因为x^k/k！-x^（k+1）/（k+1）！=x^k/k！-x^k/k！[x/(k+1)]=x^k/k！[1-x/(k+1)]=x^k/k！[(k+1-x)/k+1)]
因为x可看作常数，当k足够大时必有k>x所以(k+1-x)/(k+1)>0,所以x^k/k！-x^（k+1）/（k+1）！>0，所以x^k/k！>x^（k+1）/（k+1）！所以 e^(x-1)>x^（k+1）/（k+1）！
所以当n=k+1时原式成立，所以 e^(x-1)>x ^n/n! n>=1,n是整数 x>1