Question

一道高等数学题，关于曲面积分。求大神速答。

设半径为R的求，其球心在半径为a的定球面上，试证当前者夹在定球面内部的表面积S为最大时，R=3/4 a

Answer 1

设半径为R的球，其球心在半径为a的定球面上，试证当前者夹在定球面内部的表面积S为最大时，R=(3/4)a

解：此题无需用曲面积分。

夹在定球面内部的表面是一个球冠。设此球冠的高为h，利用简单的几何关系可求得h的表达式。

如图：R²-(R-h)²=a²-[a-(R-h)]²，展开化简得R²-2aR+2ah=0，故h=(2aR-R²)/2a；

球冠的表面积(不含底面积)=2πRh=2πR(2aR-R²)/2a=2πR²-πR³/a；

令dS/dR=4πR-3πR²/a=πR(4-3R/a)=0，得4-3R/a=0，故得极大点R=(3/4)a.

即当R=(3/4)a时球内所含球冠的表面积最大，最大值Smax=2π(9a²/16)-(π/a)(27a³)/64=(45/64)πa²

Answer 2

都是对称的，可以球面设Σ：x^2 y^2 (z-a)^2=R^2．就是要求曲面z=a-sqrt(R^2-x ^2-y^2)，在区域D={(x,y)|x^2 y^2=R^2( 4a^2-R^2)/(4a^2)}的面积．

S(R)=∫∫_D R/sqrt(R^2-x^2-y^2) dxdy．对 S=S(R)求导讨论最值．

Answer 3

东南大学的吧！

追问

哈哈你高数作业也不会来网上查。

追答

没办法啊，不过我现在会了，我自己想出来的。