Question

设数列an前n项和为Sn=4an-3n+2

（1）试求数列｛an｝的通项公式（2）求数列｛an｝的前n项和

Answer 1

(1)
Sn=4an-3n+2
S(n-1)=4a(n-1)-3(n-1)+2=4a(n-1)-3n+5
由Sn-S(n-1)=an
=>(4an-3n+2)-[4a(n-1)-3n+5]=an
=>3an-4a(n-1)-3=0
=>3an+9-4a(n-1)-12=0
=>3(an+3)=4[a(n-1)+3]
=>(an+3)/[a(n-1)+3]=4/3
且S1=4a1-3+2=a1=>a1=1/3
即 {an+3}是以3+1/3=10/3为首项，4/3为公比的等比数列
an+3=10/3*(4/3)^(n-1)
an=10/3*(4/3)^(n-1)-3

(2)
Sn+3n=a1(1-q^n)/(1-q)=10/3*[1-(4/3)^n]/(1-4/3)=10[(4/3)^n)-1]
Sn=10[(4/3)^n)-1]-3n

Answer 2

Sn=4an-3n+2
S（n-1）=4a（n-1）-3n+5
an=Sn-S（n-1）=4an-3n+2-4a（n-1）+3n-5
an=4an-4a（n-1）-3
3an=4a（n-1）+3
(an+3）/[4a（n-1）+3]=4/3
a1=S1=4a1-3+2
a1=1/3
(an+3）/[a（n-1）+3]=4/3构成{bn}数列首项为{4a1+3}，公比为4/3
bn＝（a1+3）（4/3）^(n-1)
=10/3*（4/3）^(n-1)
an+3=bn=10/3*（4/3）^(n-1)
an=[10/3*（4/3）^(n-1)]-3
Sn=a1+a2+a3+...+an=10/3*1-3+10/3*（4/3）-3+...+[10/3*（4/3）^(n-1)]-3
=10/3[1+4/3+(4/3)^2+...+(4/3)^(n-1)]-3n
=10[1-(4/3)^(n-2)]-3n
=10[1-2^(2n-4)*3^(2-n)]-3n

Answer 3

(1)Sn=4an-3n+2
S(n-1)=4a(n-1)-3(n-1)+2
an=Sn-S(n-1)=4an-4a(n-1)-3
-> 3an=4a(n-1)+3
-> 3an+9=4a(n-1)+12
-> 3(an+3)=4(a(n-1)+3)
所以{an+3}为首相10/3,公比为4/3的等比数列
所以an+3=(10/3)*(4/3)^(n-1) -> an=(10/3)*(4/3)^(n-1)-3
(2)Sn=4an-3n+2=4*[(10/3)*(4/3)^(n-1)-3]-3n+2=10*(4/3)^n-3n-10

Answer 4

Sn=4an-3n+2
S（n-1）=4a（n-1）-3（n-1）+2
相减得an=4an-4a（n-1）-3
3（an+X）=4（a（n-1) +X) (构造新数列)
X=3
an+3=（a1+3）(4/3)^(n-1)
an=[10*4^(n-1)]/3^n -3
Sn=10[(4^n/3^n)-1 ]-3n