在平面直角坐标系内，二次函数y=ax²+ bx + c图象与x轴交于A（一1，0），B(4，0)
（1）求出二次函数的解析式以及D点的坐标；
（2）点P是直线AD上方抛物线上的一点，连结PB，交AD于点E，使PE/BE=4/5，求出符合要求的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连结PD，
①直接写出PD与AD的关系
②点M是平面内一点，使△PDM∽△ADB，求符合要求的所有点N的坐标
还有一问
抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，已知抛物线对称轴x=1，B（3,0），C（0，-3）
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使P到A、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径两圆恰好与x轴相切，求此圆的半径。
拜托了，打了那么就很累的，而且我已经用光了我所有的财富值。。。行行好教一下吧？T^T 展开
郭敦顒回答：
（1）求出二次函数的解析式以及D点的坐标；
y=ax²+ bx + c图象与x轴交于A（一1，0），B(4，0) 两点，与y轴交于点C（0，4），
二次函数对称轴为x=4－（|－1|+4）/2=4－2.5=1.5，
点C的对称点为G（3，4），
坐标值代入二次函数得，
0= a－b+c （1）
0=16a+4b+c （2）
4=c，代入（1）得，a－b=－4 （3）
y′=2ax+b=0，x=1.5（求导并等于0，y有最大值，就是二次函数的顶点y值最大）
∴3a+b=0 （4）
（3）+（4）得，4 a=－4，a=－1
∴b=－3a=3，
∴二次函数的解析式是y=－x²+3x + 4
直线y=x+1与二次函数的图像交于A、D两点，A（一1，0），
D点坐标为D（x4，y4）代入一二次函数得，
x4+1=－（x4）²+3x4+4
∴（x4）²－2x4－3=0
（x4）1=3，（x4）2=－1，
（x4）2=－1时为点A的横坐标值，
（x4）1=3时，y4=3+1=4
∴D点坐标为D（3，4），
∴点C、D二次函数对称。
（2）点P是直线AD上方抛物线上的一点，连结PB，交AD于点E，使PE/BE=4/5，求出符合要求的点P的坐标；
设P的坐标是P（x0，y0），E的坐标是E（x5，y5）
用尝试—逐步逼近法求解
Y
顶点（1.5，6 .25）
P（x0，y0）
y=x+1
C（0，4） D3，4）
E（x5，y5）
O
XA（－1，0） B（4，0）
当x0=1.0时，y0=6.00，
PB=√[（4－1.0）²+（0－6.00）²]=6.7082
直线PB的斜率k=－6.00/（4－1.0）=－2.0，b=4×6/（4－1.0）=8
PB的方程y=－2x+8，
－2x+8=x+1，3 x=7.0，x5=2.33336，y5=3.33333
BE=√[（4－2.33333）²+（－3.33333）²]=3.72678
PE=PB－BE=6.7082－3.72678=2.98142
PE/BE=2.98142/3.72678=0.8=4/5，
误差=0.8－0.8=0，
∴P的坐标是P（1，6）。
（3）在（2）的条件下，连结PD，
①直接写出PD与AD的关系
PD=√[（3－1）²+（4－6）²]=2√2
AD=√[（3+1）²+（－4）²]=4√2
PA=√（2²+6²）=2√10
∴PD⊥AD，2PD= AD，
②点M是平面内一点，使△PDM∽△ADB，求符合要求的所有点N的坐标
②小题请提问者思考求解吧，不会可再问。
提问太繁重，年龄也大了，天又太晚（2013-4-6-23-30），早该休息了。
另附图片100-3906 JPG
再由其过C点, 得a = -1. 解析式为y = -(x+1)(x-4) = -x²+3x+4.
与y = x+1联立解得D的坐标为(3,4).
(2) 易知: 平面上在直线AD上方, 满足PE/BE = 4/5的点P的轨迹是一条与AD平行的直线.
由AB = 5, 可求得其与x轴的交点为(-5,0), 于是轨迹方程为y = x+5.
与y = -x²+3x+4联立解得P的坐标为(1,6) (交点唯一).
(3) 直线PD的斜率为-1, 因此PD ⊥ AD.
这里△PDM ∽ △ADB是不是要求P, D, M恰好对应A, D, B啊?
如果不是的话M可以有12个, 太麻烦了. 就先按对应的做了.
易得∠DAB = 45°, AD = 4√2, AB = 5.
若M在PD下方, 由∠DPM = ∠DAB = 45°, PD与x轴夹角45°, 可知PM ⊥ x轴.
M的横坐标与P相同, 为1.
再PD = 2√2 = AD/2, 知相似比为1/2. PM = AB/2 = 5/2.
M的总坐标比P小5/2, 为7/2, M的坐标为(1,7/2).
若M在PD上方, 类似得到PM // x轴, PM = 5/2.
M的坐标为(7/2,6).
即有两个解(1,7/2)与(7/2,6).
2. (1) B(3,0)关于x = 1的对称点为A(-1,0), 故二次函数形如y = a(x+1)(x-3).
代入C(0,-3)得a = 1, y = (x+1)(x-3) = x²-2x-3.
(2) 存在. 当P与A, C不共线, 三者构成三角形, 有|PA-PC| < AC.
而当P为直线AC与x = 1的交点, 有|PA-PC| = AC, 取得最大值.
AC的方程为y = -3x-3, 与x = 1有唯一的交点P(1,-6).
(3) 由MN // x轴, 可知M, N关于对称轴x = 1对称, 于是圆心(MN中点)在x = 1上.
而圆与x轴相切, 由切线垂直于半径外端, 可知切点Q为(1,0).
易知QM, QN与x轴夹角为45°, 方程为y = 1-x与y = x-1.
可求得M, N纵坐标为(1+√17)/2或(1-√17)/2 (分别在x轴上方和下方).
圆的半径为(1+√17)/2或(√17-1)/2.
