Question

几何问题

如图1，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若2∠MBN= ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若2∠MBN= ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请证明．

Answer 1

1，MN=AM+CN
证明：以BC为边向下作角CBE=角AEM，BE与DC的延长线相交于点E
因为BC平行AD
AB=CD
所以四边形ABCD是等腰梯形
所以角A=角D
角D=角BCE
所以角A=角BCE
因为AB=BC
所以三角形ABM和三角形CBE全等（ASA)
所以AM=CE
BM=BE
因为2角MBN=角ABC
角ABC=角ABM+角CBN
所以角MBN=角ABM+角CBN
所以角MBN=角CBE+角CBN
因为角EBN=角CBN+角CBE
所以角MBN=角EBN
因为BN=BN
所以三角形MBN和三角形EBN全等（SAS)
所以MN=EN
因为EN=CN+CE
所以MN=AM+CN
2 MN=CN-AM
证明;：在CN上截取CE=AM，连接BE
因为角ABC+角ADC=180度
角ABC+角BAD+角BCD+角ADC=360度
所以角BAD+角BCD=180度
因为角BAD+角BAM=180度
所以角BAM=角BCD
因为AB=BC
所以三角形ABM和三角形CBE全等（SAS)
所以BM=BE
角ABM=角CBE
因为角ABC=角ABN+角EBN+角CBE
2角MBN=角ABC
所以角MBN=角EBN
因为BN=BN
所以三角形MBN和三角形EBN全等（SAS)
所以MN=EN
因为CN=EN+CE
所以CN=MN+AM
所以MN=CN-AM