Question

抛物线y=-x^2+2（k-1）x+k+1与x轴交与AB两点，与y轴交与C点，线段OA、OB的长度之比为1:3

（1） 求解析式及A、B坐标 （2） 圆D，AB直径，与y轴正半轴交与点E，EF是切线，求F坐标 （3）R是x轴上任意一点，过R点做x轴的垂线，交BC于P,交抛物线于Q点，当R在何位置时，PQ有最大值？
求各位大侠帮忙，急~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Answer 1

解:
1)设点A为(-a,0),B为(b,0),
则：a:b=1:3,b=3a.
由一元二次方程根与系数的关系可知：
-a+b=2(k-1); -ab=-(k+1).
即：-a+3a=2a=2(k-1),a=k-1;
-3a²=-(k+1),-3(k-1)²=-(k+1), k=1/3或2。（k=1/3不合题意，舍去）
把k=2代入原抛物线解析式得：
y=-x²+2x+3.
当y=0时，0=-x²+2x+3,x=-1或3。故A为(-1,0),B为(3,0).

2)D为线段AB的中点，则D为（1,0),DE=(1/2)AB=2.
∵EF为圆D的切线。
∴∠DEF=∠DOE=90°；
又∠ODE=∠EDF，
则⊿ODE∽⊿EDF,DE/DF=DO/DE.
∴DE²=DO*DF,2²=1*DF,DF=4,OF=DF-DO=3.故点F为(-3,0).

3)抛物线为y=-x²+2x+3,则点C为（0，3）；又点B为（3，0）。
利用C，B两点的坐标可求得直线BC为：y= -x+3;
设R的横坐标为m，则y=-m+3,即PR的长为-m+3;
R横坐标为m,则:y=-m²+2m+3,即QR的长为-m²+2m+3.
∴PQ=QR-PR=-m²+2m+3-(-m+3)=-(m-3/2)²+9/4.
故当m=3/2时，PQ有最大值9/4。
即R为(3/2,0)时，PQ有最大值，且最大值为9/4。

Answer 2

解：⑴据题意，设A、B的横坐标分别为-t、3t（t＞0） 则-t+3t=2k-2；-t·3t=-k-1， 整理得3t2-t-2=0，解得t1=1、t2= -23 ∴t=1，k=2， ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；A、B的坐标分别为（-1,0）、（3,0） ⑵∵抛物线对称轴为：x=1312−+= ∴OD=1，DB=2 连接DE，则DE=2， ∴OE=2222213EDOD−=−= ∵∵EF切⊙D于E ∴∴DEF=90°， ∴OE2=OD·OF ∴()23=1·OF， ∴OF=3 ∴F（-3，0） ⑶①若△FMN∽△FED，则FMFEFNFD=， ∵FM=4 -12t，FN=34t ∴14232434tt−=， 解得t=327； 若△FMN∽△FDE，则FMFDFNFE=， ∴14423234tt−=， 解得t=4 ∴t= 4、327秒时，以F、M、N为顶点的三角形与△FED相似 ②S△FMN=12FM·FN·sin∴EFD=14(4 -12t)·34t=233162tt−+=23(4)316t−−+ ∴当t=4秒时，△FMN面积的最大值为3.

Answer 3

解:1)设点A为(-a,0),B为(b,0),则：a:b=1:3,b=3a.
由一元二次方程根与系数的关系可知：-a b=2(k-1); -ab=-(k 1).
即：-a 3a=2a=2(k-1),a=k-1;
-3a²=-(k 1),-3(k-1)²=-(k 1), k=1/3或2。（k=1/3不合题意，舍去）
把k=2代入原抛物线解析式得：y=-x² 2x 3.
y=0时，0=-x² 2x 3,x=-1或3。故A为(-1,0),B为(3,0).
2)D为线段AB的中点，则D为（1,0),DE=(1/2)AB=2.
∵EF为圆D的切线。
∴∠DEF=∠DOE=90°；
又∠ODE=∠EDF，则⊿ODE∽⊿EDF,DE/DF=DO/DE.
∴DE²=DO*DF,2²=1*DF,DF=4,OF=DF-DO=3.故点F为(-3,0).