Question

设函数f（x）=x^2+2x-2ln(1+x) 1 求函数f（x）的单调区间

2 当x∈【1/e-1，e-1】时 是否存在整数m 使不等式m＜f（x）＜=-m^2+2m+e^2恒成立 求整数m的值 若不存在说明理由

Answer 1

1、f'(x)=2x+2-2/(x+1）=2（x+1)-2/(x+1)=2[((x+1)^2-1)/(x+1)]=2(x+2)x/(x+1) (x>-1)
f'=0 x=0
so (-1,0] 减函数 [0,正无穷) 增函数；
2、x∈【1/e-1，e-1】

fmin=f(0)=0
f(1/e-1)=(1/e-1)^2+2(1/e-1)+2=1/e^2+1
f(e-1)=(e-1)^2+2(e-1)-2=(e-1+1)^2-3=e^2-3
fmax=e^2-3
m<fmin so m<0
-m^2+2m+e^2=-(m-1)^2+e^2+1>=fmax=e^2-3
-(m-1)^2>=-4
(m-1)^2<=4
-2<=m-1<=2 -1<=m<=3 and m<0
-1<=m<0;