Question

求解一道常系数线性齐次方程的高数题

求以y1=x^2, y2=(e^x)(cos[(√2)x])为特解的最低阶常系数线性齐次方程。

这道题是由特解来推方程，小弟想了很久，没思路，求大神提点

Answer 1

线性非其次微分方程的解等于特解加上对应其次微分方程的解
证明:微分方程可简化为L[y]=f(x)其中L[y]是方程左边线性算子,并设y?为方程特解,y!为L[y]=0的通解,有线性的性质得到L[y? y!]=L[y?] L[y!]
有L[y?]==f(x)(特解),L[y!]==0(对应通解),所以L[y? y!]==f(x),

Answer 2

1.由y1=x^2，其对应的通解形式为

y1=e^(r*x)*[C1+C2*x+C3*x^2+...+Ck*x^(k-1)] （k重实根r，k≥3）

要阶数最低，取k=3，即y1=e^(r*x)*(C1+C2*x+C3*x^2) （3重实根）

本题中r=0，对应的特征方程为r^3=0

2.由y2=(e^x)(cos[(√2)x])，其对应的通解形式为

y2=e^(a*x)*[(C1+C2*x+C3*x^2+...+Ck*x^(k-1))*cos(b*x)+(D1+D2*x+D3*x^2+...+Dk*x^(k-1))*sin(b*x)] （k重复根a±ib，k≥1）

要阶数最低，取k=1，即y1=e^(a*x)*(C1*cos(b*x)+D1*sin(b*x)) （1重复根）

本题中a=1，b=√2，对应的特征方程为r^2-2*r+3=0

因此总的特征方程为r^3(r^2-2*r+3)=0

即r^5-2*r^4+3*r^3=0

对应的常系数线性齐次方程为y^(5)-2*y^(4)+3*y'''=0 （最低5阶）