Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，作DE⊥AB，交AC于点F，CD平方=DE·DF，那么点D是AB的中点吗？

Answer 1

因为CD平方=DE·DF=DE比CD=CD比DF，又因为∠CDE=∠CDE，所以△DCF∽△DEC，所以∠F=∠ECD，∠FCD=∠DEC,又因为∠FDC=∠EDC，所以∠F+∠FDC=∠FCD=∠ECD+∠CDE=∠CED,
所以∠F=∠FDC=∠ECD，所以FC=DC,又因为∠ACB=∠BDF=90°，∠ECD=∠ECD，所以∠DCB=90°-∠ECD=∠BDC=90°-∠EDC，所以△DCB是等边三角形，又因为CD=DC，随后证△FCE∽△ADE，得∠F=∠A，∠F=∠ECD，所以CD=AD，即CD=BD=AD，所以点D是AB的中点

Answer 2

是的。CD平方=DE·DF表明△FDC和△CDE相似，所以∠DCE=∠DFC，所以∠BFD=∠BAC=∠DCE,所以∠DCB=∠DBC,AD=DC=DB,所以D是AB的中点

Answer 3

直角三角形的高等于斜边的一半