Question

已知向量a=(2cosa,2),b=(2,2sina）

已知向量a=(2cosa,2),b=(2,2sina)（1）若a⊥b,求a的取值集合（2）求|a+b|的最大值及相应的a的取值范围
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Answer 1

若a⊥b
4cosa+4sina=0
sina+cosa=0
又sin²a+cos²a=1
(sina+cosa)²-2sinacosa=1
2sinacosa=-1
sin2a=-1
2a=2kπ-π/2
a=kπ-π/4 ,k∈Z

|a+b|²
=(2cosa+2)²+(2+2sina)²
=4(cos²a+2cosa+1+sin²a+2sina+1)
=4(3+2cosa+2sina)
=12+8√2sin(a+π/4)
≤12+8√2
|a+b|最大值是2√2+2 楼上答案是错的。

当a=2kπ+π/4，k∈Z时取得。

如果认为讲解不够清楚，请追问。
祝：学习进步！

Answer 2

【1】
a垂直b，则：a*b=0
4cosa＋4sina=0
cosa=－sinx
tana=sina/cosa=－1
得：a=kπ－π/4，其中k∈Z
【2】
|a＋b|²=|a|²＋2a*b＋|b|²
=(4cos²a＋8cosa＋4)＋(4sin²a＋8sina＋4)＋2(4cosa＋4sina)
=16(cosa＋sina)＋12
=16√2sin(a＋π/4)＋12
则：|a＋b|的最大值是√[16√2＋12]
此时，a=2kπ＋π/4，k∈Z

Answer 3

解;（1）向量a=(2cosa,2),b=(2,2sina),因为a⊥b，
所以4cosa+4sina=0
sin（a+π/4）=0
a+π/4=kπ k∈Z
所以 a=-π/4+kπ k∈Z
(2)向量a+b=（2cosa+2,2sina+2）
|a+b|²==(2cosa+2)²+(2+2sina)²
=4(cos²a+2cosa+1+sin²a+2sina+1)
=4(3+2cosa+2sina)
=12+8√2sin(a+π/4)
所以当sin（a+π/4）=1，即a=π/4+2kπ k∈Z时，|a+b|取最大值，最大值为2√（3+2√2）
希望能到您，学习快乐