Question

数学竞赛二试试题

试找出最大的正整数N,使得无论怎样将正整数1至400填入20*20方格表的各个格中,都能在同一行或同一列中找到两个数,它们的差不小于N.

Answer 1

先证明N=<209,用正中的竖直直线将方格表分成两个20*10的方格表,将1至200逐行按递增顺序填入左表中,再在右表中按同样的原则填入201至400,这样,在每一行中所填之数最大差不超过210-1=209,在每一列中所填之数最大差不超过191-1=190,所以N=<209.再证N不能小于209.考察子集M1={1,2,…,91}和M2={300,301,…,400},将凡填有M1中数的行和列都染为红色;将凡填有M2中数的行和列都染为蓝色,只要证红色的行和列的数目不小于20,而蓝色的行和列数目不小于21.那么,就有某一行或某一列既被染为红色,又被染为蓝色,从而其中必有两个数的差不小于300-91=209.设有i行和j列被染为红色,于是M1中的元素全都位于这些行和列的相交处,所以ij>=91,所以i j>=2(ij)^1/2>=2(91)^1/2>=19.同理可证被染为蓝色的行和列数之和i' j'>=2(i'j')^1/2>=2(101)^1/2>20.故N=209.

Answer 2

要用数论知识讨论，你可去百度文库搜索《全国高中数学联赛十年加试题集锦》，里面有这道题详细不完全归纳法解答

Answer 3

20因为二十乘二十，一行或一列最小相差二十。明白？