Question

如图,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠ABC=∠BAD=90°,AD=BC,AC,BD相交于点G,

如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）
（2）证明：四边形AHBG是菱形；
（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）

Answer 1

（1）∵∠ABC=∠BAD=90°
AD=BC
∴在与Rt△ABC与Rt△ABD中
AD=BC
AB=AB
∴Rt△ABC≡Rt△ABD(HL)
(2)∵AE∥DB
BF∥CA
∴四边形AHBG是平行四边形
又∴∠CAB=∠EAB
∴BA平分∠GAH
∴平行四边形AHBG是菱形
（3）AB=BC

Answer 2

⑴选择ΔABC≌ΔBAD。
证明：在RTΔABC与RTΔBAD中，
AD=BC，AB=BA，
∴RTΔABC≌RTΔBAD(HL)，
⑵∵AE∥BD，BF∥AC，
∴四边形AHBG是平行四边形，
由⑴全等得：∠BAC=∠ABD，∴GA=GB，
∴平行四边形AHBG是菱形。
⑶AB=BC。

Answer 3

（1）△AGB和△BHA全等

证明之：
因为AE∥DB，BF∥CA，
所以∠GAB=∠ABH，∠GBA=∠BAH
又因为AB=BA，
所以△AGB和△BHA全等（SAS）
（2）因为∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AB=BA
所以Rt△ABC与Rt△ABD全等
所以∠CAB=∠DBA
所以GA=GB（等腰三角形）
又因为AE∥DB，BF∥CA，四边形AHBG为平行四边形

所以四边形AHBG是菱形。
（3）条件：AB=BC