满足方程(x-1)^2+(y-1)^2=xy+3的所有正整数解有 A：一组 B:二组 C:三组 D:四组 要解题过程，拜托了
2个回答
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没有正整数解(其实也没有整数解).
一种证法是用不等式控制, 由基本不等式a²+b² ≥ 2ab, 有
xy+3 = (x-1)²+(y-1)² ≥ 2(x-1)(y-1) = 2xy-2x-2y+2.
得xy-2x-2y-1 ≤ 0, 即(x-2)(y-2) ≤ 5.
将x = 1, 2, 3, 4分别代入, 解得y不是正整数, 故x ≥ 5.
同理y ≥ 5, 则(x-2)(y-2) ≥ 9 > 5, 矛盾.
故方程无正整数解.
还有一种方法是配方.
方程展开为x²-xy+y²-2x-2y-1 = 0.
乘4并整理为(x+y)²+3(x-y)²-8(x+y)-4 = 0.
即(x+y-4)²+3(x-y)² = 20.
完全平方数(x+y-4)²除以3的余数只能为0或1, 于是左端除以3余0或1.
但右端除以3余2, 矛盾.
方程无整数解.
应该是哪里抄错了, 请检查题目的来源.
改正后可追问, 或尝试模仿上述第二种方法求解.
一种证法是用不等式控制, 由基本不等式a²+b² ≥ 2ab, 有
xy+3 = (x-1)²+(y-1)² ≥ 2(x-1)(y-1) = 2xy-2x-2y+2.
得xy-2x-2y-1 ≤ 0, 即(x-2)(y-2) ≤ 5.
将x = 1, 2, 3, 4分别代入, 解得y不是正整数, 故x ≥ 5.
同理y ≥ 5, 则(x-2)(y-2) ≥ 9 > 5, 矛盾.
故方程无正整数解.
还有一种方法是配方.
方程展开为x²-xy+y²-2x-2y-1 = 0.
乘4并整理为(x+y)²+3(x-y)²-8(x+y)-4 = 0.
即(x+y-4)²+3(x-y)² = 20.
完全平方数(x+y-4)²除以3的余数只能为0或1, 于是左端除以3余0或1.
但右端除以3余2, 矛盾.
方程无整数解.
应该是哪里抄错了, 请检查题目的来源.
改正后可追问, 或尝试模仿上述第二种方法求解.
更多追问追答
追问
题目没错的，是试卷上来的。还是谢谢你的用心回答！
追答
试卷上的题也可能出错的.
你可以检验一下上面的证明, 应该是没有问题的.
或者找一下标准答案, 看看它能有什么正整数解.
个人认为肯定是有问题的.
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