Question

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 3acosA=ccosB+bcosC. (1)求cosA的值； (2)...

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 3acosA=ccosB+bcosC. (1)求cosA的值； (2)若a=1,cosB+cosC=(2跟号3)/3,求边C的值。

Answer 1

解：
（1）根据正弦定理，得
3acosA=ccosB+bcosC
3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA
即得 3cosA=1
所以 cosA=1/3

（2）
∵cosA= 1/3
∴sinA= 2√2/3
cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=- 1/3cosC+ 2√2/3sinC
又 cosB+cosC=2√3/3
∴2√3/3-cosC=- 1/3cosC+ 2√2/3sinC
化简，得
√3-cosC=√2sinC
cosC+ √2sinC= √3 与cos²C+sin²C=1联立解得
sinC=√6/3
又 a=1
正弦定理：
1/2√2/3=c/6/3
解出
c=√3/2

备注：专家给定的参考答案，也算是另一种解法：http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/18f2e85f-a99a-4d69-aedc-3baaf12f1753

Answer 2

(1)
根据几何关系
3acosA=ccosB+bcosC=a
cosA=1/3
(2)
a=1
cosB+cosC=2√3/3
=2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]=2√3/3
由于cos[(B-C)/2]≤1
故cos[(B+C)/2]≥√3/3...式1
cos(B+C)=-cosA=-1/3
cos(B+C)=2cos²[(B+C)/2]-1=-1/3
cos[(B+C)/2]=√3/3
上式表明式1中等号成立。
取等条件是B=C因此三角形ABC是等腰三角形，a是底边
根据正弦定理
a/sinA=c/sinC
解出
c=√3/2

如果认为讲解不够清楚，请追问。
祝：学习进步！

Answer 3

根据正弦定理
a=2RsinA
b=2RsinB
c=2RsinC
又依题意
3acosA=ccosB+bcosC
将abc代入得到下式
3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC
即3sinAcosAS=sin(B+C)
又sin(B+C)=sin(180-A)=sinA
即3sinAcosAS=sinA
所以cosA=1/3

cosB=cos(180-A-C)
=-cos(A+C)
=sinAsinC-cosAcosC
又cosA=1/3 所以sinA=2√2/3
所以上式为
cosB+cosC=
sinC*2√2/3-cosC*1/3+cosC=2√2/3
得到√2sinC+cosC=√3
所以sinC=√6/3
c=a/sinA*sinC=√3/2

Answer 4

根据正弦定理
a=2RsinA
b=2RsinB
c=2RsinC
又依题意
3acosA=ccosB+bcosC
将abc代入得到下式
3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC
即3sinAcosAS=sin(B+C)
又sin(B+C)=sin(180-A)=sinA
即3sinAcosAS=sinA
所以cosA=1/3

cosB=cos(180-A-C)
=-cos(A+C)
=sinAsinC-cosAcosC
又cosA=1/3 所以sinA=2√2/3
所以上式为
cosB+cosC=
sinC*2√2/3-cosC*1/3+cosC=2√2/3
得到√2sinC+cosC=√3
所以sinC=√6/3
c=a/sinA*sinC=√3/2

Answer 5

(1)
cosB=（a^2+c^2-b^2)/2ac
cosC=（a^2+b^2-c^2)/2ab
所以3acosA=ccosB+bcosC=(a^2+c^2-b^2)/2a+(a^2+b^2-c^2)/2a=a
所以cosA=a/3a=1/3
(2)
cosA=1/3 所以sinA=(2跟号2)/3
cosB+cosC=cos(A+C)+cosC=cosAcosC-sinAsinC+cosC=4/3cosC-(2跟号2)/3sinC=(2跟号3)/3
解得sinC=(跟号2-1)/跟号6 因为a/sinA=c/sinC 所以c=（跟号6-跟号3)/4