Question

复变函数证明题，基础！求教！！！

题目如图所示

Answer 1

z=x+iy,则lim=lim(x/x+yi)
取(1/n,0)和(-1/n,0)，则这两个数列都趋近于(0,0)
但第一个lim是1，第二是(-)1。因此极限发散，即z=0+i0处极限不存在

换言之，就是取y=0，x分别从上方和下方趋近，则一个lim是1，一个lim是-1

Answer 2

令z=x+iy，则Rez=x，所以limRez/z=lim[x/(x+iy)]，令y=kx，即z沿复平面上直线y=kx趋于0，则极限=limx/(x+ikx)=1/(1+ik)，当k不同时极限不同，故极限不存在。

追问

请问用数学思想想，令y=kx这算不算是一种假设法，然后有一种情况y=kx下不行，所以反例成功，得，极限不存在；？？

追答

差不多吧，呵呵，极限存在要求沿任意途径趋于z=0的极限都相等，要想证极限不存在，只需找出某两条途径的极限不相等即可，和举反例的道理一样，但是注意这种令y=kx的方法只能用来证明极限不存在，不能用来证明极限存在。