Question

***若一元二次方程ax²+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根，试求出所有这样的正整数a的值

答案是1,3,6,10，请问是怎么算的

Answer 1

△=[2(2a-1)]²-4a*4(a-3)=[2(2a-1)]²-4*4(a-3)=32a+4=4(8a+1)
x=[-2(2a-1)±2√(8a+1)]/2a=[1±√（8a+1)]/a-2
x至少有1根是整数，a为正整数
∴8a+1=b²，(b为0、1、2、……）
8a+1是奇数，所以b必为奇数，即8a+1=(2n+1)²,(n=1、2、3、……）
8a+1=4n²+4n+1
a=n(n+1)/2
a=1,3,6,10,15,21,……
x至少有1根是整数，所以至少其根的分子绝对值中较大的数必须大于等于分母，否则x的根均为分数
∴1+√（8a+1)≧a
√（8a+1)]≧a-1，两边平方得：8a+1≧a²-2a+1
a²-10a≦0
a(a-10)≦0
a＞0
∴a≦10
∴a=1,3,6,10

Answer 2

首先 △=[2(2a-1)]²-4a*4(a-3)>=0
(2a-1)²-4a(a-3)>=0
4a²-4a+1-4a²+12a>=0
8a+1>=0
a>=-1/8
而要有整数根, x=(-2(2a-1)±√△)/(2a)=[2(1-2a)±√(8a+1)]/(2a)
因此△必须首先是完全平方数
又2(2a-1)是偶数, 所以 △必须是偶数的平方才有可能得到整数解
所以 a=1 肯定是错的
a=1, 8a+1=9 成立, x=[-2±3]/2,x1=1/2, x2=-5/2, 没有整数解
同理 a=3,6也是错的

设8a+1=4k², 8a=4k²-1=(2k+1)(2k-1)
而(2k+1),(2k-1)均为奇数,a为正整数, 所以上式不可能成立
所以应该是无解

Answer 3

我觉得应该就是带入求根公式看看的吧，你可以化简试试。。