Question

设函数f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,minf(x)=-1,证明maxf″(x)≥8（x∈[0,1]）

这是李永乐2014复习全书上的例【2.46】，但是在最后一步：-16f(1/2)≥-16minf(x),x∈[0,1],这里就看不懂了，不明白为什么，求解答啊，谢谢啦

Answer 1

-16f(1/2)≥-16minf(x)你看错还是写错了 显然 f(1/2)>=minf(x) 两边同时乘以-16，应该是 -16f(1/2)<=-16minf(x)

证明：令f(x)=-sin(πx),0<=x<=1 显然f(0)=f(1)=0，且minf(x)=-1,且具有二阶倒数符合题设条件
所以f''(x)= π^2sin (π
x) ，所以 f’‘(1/2)= π^2>8
f(x)=-sin(πx),0<=x<=1仅是符合题设条件的一个函数，显然有maxf''(x)> = π^2>8，
maxf''(x)>8成立时， maxf''(x)>=8 原题不等式也成立

Answer 2

由泰勒公式：
f(1/2)=f(0)+f'(0)(1/2)+f"(a)(1/4)(1/2)
f(1/2)=f(1)-f'(1)(1/2)+f"(b)(1/4)(1/2)
故:((f'(0)+f'(1))/2+(f"(a)-f"(b)/8=0.

Answer 3

是有点问题，其实不应该连着写，应分两步写，2maxf''(x) >=f''($1)+f''($2) , f''($1)+f''($2)=-16f(1/2)<=-16minf(x)=16 2maxf''(x) 大于f''($1)+f''($2)的最大值，所以退出大于8