Question

已知函数f(x)=1/3x^3-a/2x^2+x在[1,正无穷)上为单调递增函数,求实数a的取值范围

已知函数f（x）=x^3+3ax^2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，求a的取值范围

若函数f（x）=lnx-1/2ax^2-2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围

Answer 1

1、f′(x)=x²-ax+1＞0
(x-a/2)²＞a²/4-1
∵x≧1，
当a≦2时，左边min=(1-a/2)²
∴a²/4-1＜1-a+a²/4
得：a＜2
当a＞2时，左边min=0
∴0＞a²/4-1
-2＜a＜2
∴无解
∴a的取值范围为a＜2

2、函数f(x)存在极值的必要条件是f′(x)存在等于0的驻点，且驻点左右的f′(x)异号
f′(x)=3x²+6ax+3(a+2)=0
x²+2ax+a+2=0
△=4a²-4(a+2)＞0
a²-a-2＞0
(a-2)(a+1)＞0
∴a＞2 or a＜-1
x=-a±√（a²-a-2)
x＜ -a－√（a²-a-2)时，f′(x)＞0；
-a－√（a²-a-2)＜x＜ -a+√（a²-a-2)时，f′(x)＜0；
x＞ -a+√（a²-a-2)时，f′(x)＞0；

∴a＞2 or a＜-1 时函数既有极大值，又有极小值
注：此处的极大值和极小值不是函数的最大值和最小值，而是函数在某个区间的最大值、最小值。

3、函数f（x）=lnx-1/2ax²-2x存在单调递减区间
定义域为x＞0
f′(x)=1/x-ax-2＜0
ax²+2x-1＞0
a(x+1/a)²＞1+1/a
当a>0时，(x+1/a)²＞（a+1)/a²
x+1/a＞√（a+1)/a
x＞[√（a+1)-1]/a
即当a>0，且x<[√（a+1)-1]/a时，f′(x)>0，函数单调递增；
当a>0，且x>[√（a+1)-1]/a时，f′(x)<0，函数单调递减。

当a<0时，(x+1/a)²<（a+1)/a²
(x+1/a)²≧0
x+1/a <√[（a+1)/a²]
x <-√（a+1)/a -1/a
x < -[√（a+1)+1]/a
∴-1<a<0,x < -[√（a+1)+1]/a 时，f′(x)<0，函数单调递减。

∴a>-1时，函数存在单调递减区间。

Answer 2

解：f'（x）=2x-a/x^2
f'=0，解得x=（a/2）^(1/3)
由已知可得：f的单调增区间是：
a》=0时【（a/2）^(1/3)，﹢无穷）；
a<0时，为【（a/2）^(1/3)，0），（0，正无穷）；
综合可知（a/2）^(1/3)《=2，解得：a<=16