Question

如图,○O1与○O2外切于点P,经过○O1上一点A作○O1的切线交○O2于B,C两点直线AP交○O2

对不起了，太晚了， 图没画。1 求证：DC²=DP*DA 2 若○O1与○O2的半径比为1：2，连接BD,BD=4根号6，PC=12,求AB的长

Answer 1

1.过圆1与圆2的外切点作两圆的公切线，交AC于E点，并在EP延长线上取一点F
又因为CA切圆1于A点，于是∠EAP与∠EPA同为圆1中弦AP所对应的弦切角，根据弦切角性质可得：∠EAP=∠EPA
而∠APE与∠FPD为对顶角，∠APE=∠FPD，于是有∠EAP=∠FPD
因为EF切圆2于P点，∠PCD为圆2中弦PD所对应的圆周角，所以弦切角∠FPD=∠PCD
所以∠EAP=∠PCD
而在△ACD与△PCD中，∠ADC为公共角，并有∠EAP=∠PCD，所以△ACD∽△PCD
可得出比例:PD/CD=CD/AD
所以CD^=PD*AD

2.由于BD已连接，可以从圆2中看出，∠CBD与∠CPD为同弧圆周角，有∠CBD=∠CPD，由前面已证的△ADC∽△PCD，可以得出∠CPD=∠BCD，所以∠BCD=∠CBD，于是BD=CD
过D向弦BC引垂线，此垂线必是BC的垂直平分线（等腰三角形性质），因此，此垂线必过圆2的圆心O2，有DO2⊥AC
再取圆1的圆心O1，连接O1O2，由于P为两圆外切切点，故O1，O2，P共线
连接O1A，可由CA切圆1于A得到，AC⊥AO1
所以AO1‖O2D，易证明△AO1P∽△PO2D，得出比例：AP/PD=O1P/PO2
O1P，PO2显然分别是圆1，圆2的半径，由已知得O1P/PO2=1/2,可得出AP/PD=1/2
所以有PD=2PA，AD=(PD+AP)=3PA

由第1问的结论，可得出CD^=PD*AD=3PA*2PA=6PA^
而此问开始时已证BD=CD=4√6,所以6PA^=(4√6)^,PA=4

在圆2中，∠BCP与∠BDP为同弧圆周角，有∠BCP=∠BDP
而在△ACP与△ABD中，∠CAD为公共角，加上上面相等的对应角，两三角形相似，于是可得比例：AB/AP=BD/PC
代入BD=4√6，PC=12，PA=4的值，可得到AB=4√6/3