Question

解不等式，已知函数f（x）＝|x－1|

解不等式 1≦f（x）＋f（x－1）≦2

（2）若a＞0 求证f（ax）－af（x）≦f（a）

Answer 1

令g（x）=f（x）＋f（x－1）=|x－1|+|（x-1）－1|=|x－1|+|x－2|

当x＜1时，g（x）=1-x+2-x=3-x，代入不等式得1≤x≤2，与定义域不符，不等式解集为∅

当1≤x≤2时，g（x）=x-1+2-x=1，不等式恒成立，不等式解集为x∈[1,2]

当x＞2时，g（x）=x-1+x-2=2x-3，代入不等式得，2≤x≤5/2，不等式解集为x∈（2,5/2]

综合得不等式解集为x∈【1,5/2]

2）当a=1时，f（ax）－af（x）=f（x）－f（x）=0=f（a）

Answer 2

1.
f(x)=|x-1|, f(x-1)=|x-1-1|=|x-2|
g(x)=f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|
当x>=2, g(x)=(x-1)+(x-2)=2x-3
1<=2x-3<=2, 4<=2x<=5, 2<=x<=5/2
当1<=x<=2, g(x)=(x-1)+(2-x)=1, 满足条件
当x<=1,g(x)=(1-x)+(2-x)=3-2x
1<=3-2x<=2, -2<=-2x<=-1, 1<=2x<=2, 1/2<=x<=1
所以 1/2<=x<=5/2
2.
g(x)=f(ax)-af(x)=|ax-1|-a|x-1|=a|x-1/a|-a|x-1|=a(|x-1/a|-|x-1|)
当a>=1, 0<1/a<=1, f(a)=|a-1|=a-1
当 x>=1, g(x)=a(x-1/a-x+1)=a(1-1/a)=a-1, f(ax)-af(x)=f(a)
当 1/a<=x<=1,g(x)=a(x-1/a-1+x)=a(2x-1-1/a)=2ax-a-1<=2a-a-1=a-1, f(ax)-af(x)<=f(a)
当 x<=1/a,g(x)=a(1/a-x-1+x)=a(1/a-1)=a-1, f(ax)-af(x)=f(a)
当0<a<=1, 1/a>1, f(a)=|a-1|=1-a
当 x>=1/a>1, g(x)=a(x-1/a-x+1)=a(1-1/a)=a-1, f(ax)-af(x)=f(a)
当 1<=x<=1/a,g(x)=a(1/a-x-x+1)=a(1+1/a-2x)=a+1-2ax<=a+1-2=a-1, f(ax)-af(x)<=f(a)
当 x<=1,g(x)=a(1/a-x-1+x)=a(1/a-1)=a-1, f(ax)-af(x)=f(a)
所以 f(ax)-af(x)<=f(a)

Answer 3

（1）用图像法解，|x－1|+|x－2|在数轴上表示一个点到x=1点和x=2点的距离之和，不等式的含义就是他们的和在1到2之间，很直观的看得出0.5<=x<=2.5。
（2)图像法同样可以解第二问，两边同时除以a，|x－1/a|-|x－1|就表示距离只差，这时要分a>1和a<1考虑，丛数轴上可以很直观的看出不等式的关系