Question

数学题一道，求大神解答。

25.在平面直角坐标系xOy中，将以A（-5,5）、B（-5,-5）、C（5,-5）、D（5,5）四点组成的正方形ABCD绕原点O逆时针旋转 （0°≤ α＜45°）后，线段AB、CD与x轴分别交与点F、H。线段AD、BC与y轴分别交与点E、G。二次函数y1=ax^2+bx+c的图像经过点F、G、H，顶点为P。二次函数y2=mx^2+nx+k的图像经过点F、E、H，顶点为Q。连结QF、FP、PH、HQ。
（1）如图1，当α=0°时，求出四边形QFPH的面积；
（2）当四边形QFPH的面积为500/9时，求线段GB的长及点B的坐标；
（3）若二次函数y2=mx^2+nx+k的图像上有一点M，且点N是点M关于直线AC
的对称点，设对称中心K点的横坐标为d，当点N恰巧在二次函数y1=ax^2+bx+c的图像上，且-2＜d＜1时，已知∠BFG的正切值为3/4，求出M点的坐标。

图1
额 没有那么麻烦把

Answer 1

尽量用几何关系简化计算吧, 不过(3)问真的很繁.

画个图就能明白OE = OF = OG = OH总是成立的.
证明也不难:
∵∠EOD = 45°-α = ∠FOA, ∠EDO = 45° = ∠FAO, OD = OA，
∴△EOD ≌ △FOA (ASA), OE = OF.
余下的同理.
因此E在FH垂直平分线上, 也即在抛物线y2的对称轴上, 又E也在该抛物线上.
对称轴与抛物线的交点即为顶点, 因此E总与Q重合.
同理, G总与P重合. 于是四边形QFPH就是正方形EFGH.
QFPH的面积 = EF² = (√2·OE)² = 2OE².

(1) α = 0时OE = 5, 故QFPH面积 = 50.

(2) QFPH面积 = 500/9, 可得OG² = 250/9, OG = (5√10)/3.
取BC中点J, 连OJ, 有OJ ⊥ BC, OJ = 5.
由勾股定理GJ² = OG²-OJ² = 25/9, GJ = 5/3.
于是BG = BJ-GJ = 5-5/3 = 10/3.
sin∠OGJ = OJ/OG = 3/√10, 可算得B到y轴的距离为BG·sin∠OGJ = √10.
而OB = 5√2, 由勾股定理算得B到x轴的距离为2√10.
B的坐标为(-√10,-2√10).

(3) ∵F, B, G, O四点共圆(对角互补), ∴∠BOG = ∠BFG.
又∵∠COH = ∠BOG, ∴tan∠COH = tan∠BFG = 3/4.
可知AC的方程为y = -3x/4.
∵tan∠BFG = 3/4, ∴BG = 3BF/4.
又∵AF = BG, AF+BF = AB = 10.
∴可解得BF = 40/7, BG = 30/7, ∴FG = 50/7, OG = (25√2)/7.
简便起见, 记e = (25√2)/7.
可求得两个二次函数分别为y1 = x²/e-e, y2 = -x²/e+e.

设M的坐标为(s,t), N的坐标为(u,v).
有M在y2上: et = -s²+e² ①,
N在y1上: ev = u²-e² ②,
MN的中点在AC上: (t+v) = -3(s+u)/4 ③,
MN与AC垂直: (v-t)/(u-s) = 4/3 ④.
①+②得e(t+v) = u²-s² = (u+s)(u-s).
将③代入上式, 得-3e(s+u)/4 = (u+s)(u-s).
有u+s = 0或-3e/4 = u-s.

若u-s = -3e/4, 代入④得v-t = -e.
而②-①得e(v-t) = u²+s²-2e², 将上式代入得u²+s² = e².
又∵u-s = -3e/4, ∴ (u+s)² = 2(u²+s²)-(u-s)² = 23e²/16.
MN中点K的横坐标d = (u+s)/2, 故|d| = |u+s|/2 = √23·e/8 > e/2 > 3√2/2 > 2.
与条件-2 < d < 1不符.

于是u+s = 0, 由③得v+t = 0. 将u = -s, v = -t代入④得t = 4s/3.
代回①得s²+4es/3-e² = 0, 解得s = (-2±√13)e/3.
相应t = (-8±4√13)e/9.
M的坐标为((-50√2+25√26)/21,(-200√2+100√26)/63)
或((-50√2-25√26)/21,(-200√2-100√26)/63).
此时M, N关于O中心对称, K与O重合, 横坐标d = 0, 满足要求.

不排除(3)问可能有简单点的办法.
不过答案就这么繁了, 过程想必简单不到哪去吧.

Answer 2

现在的孩子真累，不知道学这种有啥用.
出来还不是要找工作 做生活奔波。能教点有用的么。
我大学毕业就学了一堂课的就业指导，算个什么事么。

Answer 3

这个看着就头疼啊，没必要那么纠结的，有些题目不用去研究啦。

Answer 4

我觉得这样的问题没有人回答吧
其实我看到题目就没细看，刚又看了一遍，我去，就是头疼啊

Answer 5

头疼..................................