Question

如图,以直角三角形ABC的两直角边AC,BC分别为边做等边三角形ACE,等边三角行BCF,M,P，N分别是AE，AB，BF的

中点，则线段MP与线段NP有怎样的大小关系？说明理由.夹角是多少度？为什么？如果直角三角形ABC改成锐角三角形，上述结论是否仍然成立？

Answer 1

解：线段MP与线段NP有怎样的大小关系是相等。夹角是120度。 如果直角三角形ABC改成锐角三角形，上述结论仍然成立。
理由：
连接BE，AF
则 MP是△AEB的中位线，NP是△AFB的中位线
从而 MP=EB/2 NP=AF/2
在△BCE与△ACF中
AC=EC ①
BC=CF ②
∠ECB=∠ACE+∠ACB=60°+90°=150°
∠ACF=∠FCB+∠ACB=60°+90°=150°
从而 ∠ECB=∠ACF ③
由①②③得 △BCE≌△ACF
(边，角，边)

从而 EB=AF ④又已得 MP=EB/2 ⑤ NP=AF/2　⑥
由④⑤⑥得 MP=NP
设EB与AF相交于O
由 △BCE≌△ACF 得 ∠CEB＝∠CAF
从而 A，E，C，O四点共圆（四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若其顶角相等(同弧所对的圆周角相等

），从而即可肯定这四点共圆）得 ∠EOC=∠EAC=60°⑦
同理可得 ∠COF=∠CBF=60°⑧
又 MP是△AEB的中位线，NP是△AFB的中位线
从而 由⑦⑧得 ∠MPC=∠EOC=60°⑨ ∠NPC=∠COF=60°⑩
由⑨⑩得 ∠MPN=∠MPC+∠NPC=60°+60°=120°

如果直角三角形ABC改成锐角三角形,根据上面推理，得到上述结论仍然成立。

Answer 2