Question

2012年陕西省数学初中毕业学业试卷(副题)

25.（本题满分10分） 如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1.分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N。

（1）求证：EM+FN=AB；
（2）求当△ABC面积的最大值；
（3）当△ABC面积最大时，在直线MN上找一点P, 使得EP+FP的值最小，求出这个最小值。（结果可保留根号）
图片在http://zhidao.baidu.com/question/531390865.html速度点，第一问可不用写。

Answer 1

（3）根据余弦定理有AC²+BC²-AB²=2*AC*BC*cos角ACB
∵角ACB等于45,AB=1
∴AC²+BC²-√2*AC*BC=1
∵AC²+BC²≥2*AC*BC
∴（2-√2）*AC*BC≤1
即AC*BC≤1+1/√2
ABC面积=1/2*AC*BC*sin角ACB≤（1+√2）/4
当AC=BC时，ABC面积的最大值为（1+√2）/4
作E关于MN的对称点E‘，连E’F与MN的交点P，使EP+FP值最小。

Answer 2

（1）证明：过点c作CD⊥AB，垂足点为D.
∵∠EAM+∠CAD=90°，∠MEA+∠EAM=90°
∴∠CAD=∠MEA.
∴△EAM全等△ACD（AAS)
∴EM=AD

同理可证△CDB全等△BNF
∴DB=FN
∴EM+FN=AD+BD=AB
（2）当AC=BC时面积最大，0.25（根号2）+0.25
(3)计算较麻烦，应该是根号（7+4根号2）