Question

已知f(x)是R上的一个偶函数,g(x)是R上的一个奇函数,且f(x)=g(x)+a^x,(a>0,a≠1)

（1）求函数f(x)的解析式（2）设f(1)=5/4，求a的值 (3)求F(x)=f(x)/g(x)的值域

Answer 1

(1)有题可知，f(-x)=g(-x)+a^(-x)=f(x)=g(x)+a^(x),g(x)=-g(-x),从而可以解出g(x)=[a^(-x)-a^(x)]/2,带入原来的式子中可以求得f(x)=)=[a^(-x)+a^(x)]/2
(2)由于f(1)=5/4,从而a=2或a=1/2
(3)当a=2时，F（x）=[a^(2x)+1]/[a^(2x)-1]=(4^x+1)/(4^x-1),值域为（负无穷，0）或（1，正无穷）
同理，当a=1/2时可以求得值域（在a=2时的式子上求相反数）

Answer 2

g(x)=f(x)-a^x ①
因为，g（x）是奇函数，
所以g（-x）=-g（x）带入①式
得，f（-x）-a^-x =-f(x)+a^x②
又因f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)带入②式
f(x)=（a^-x +a^x ）/2③

f(1)=（a^-1 +a^1 ）/2=5/4

解得，a=2