Question

p是菱形ABCD的对角线BD上的一点 若AB=2 ,DP:PB=1:2 ,且PA垂直BF 求对角线BD的长

Answer 1

解：∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥BA，CD=BA，∴△CPD∽△FPB，∴DP/PB=CD/BF=CP/PF=1/2，
∴CD=1/2BF，CP=1/2PF，
∴A为BF的中点，
又∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
由三角形CDP全等三角形ADP可知，PA=CP，
∴PA=1/2PB，在Rt△PAB中，
PB^2=2^2+（1/2PB）^2，
解得PB=三分之四根号三，
则PD=三分之二根号三，
∴BD=PB+PD=2/3．

Answer 2

易证△CPD∽△BPF ，于是BF/CD=PB/DP=2 ，即BF=2CD=2AB=4
于是△BPF为等腰三角形 ，△BCF为Rt三角形 ，于是∠CBD=∠DBF=∠F=90°/3=30°
故BP=AB /（√3/2）=4√3/3 ，所以 BD= 3/2 BP = 2√3

Answer 3

易证△CPD∽△BPF ，于是BF/CD=PB/DP=2 ，即BF=2CD=2AB=4 于是△BPF为等腰三角形 ，△BCF为Rt三角形 ，于是∠CBD=∠DBF=∠F=90°/3=30°故BP=AB /（√3/2）=4√3/3 ，所以 BD= 3/2 BP = 2√3