Question

已知函数f(x)=1/2x^2+lnx

1、求函数f(x)的单调区间
2、求证：当x>1时、1/2x^2+lnx<2/3x^3

Answer 1

首先函数的定义域为（0，正无穷）
然后求导，f(x)的导数=x+1/x=(x^2+1)/x大于0恒成立，所以函数f(x)在定义域内单调递增。
（2）设g(x)=1/2x^2+lnx-2/3x^3,只需要证明当x>1时， g(x)的最大值都小于0即可。
求导，g(x)的导数=x+1/x-2x^2=-(2x^3-x^2-1)/x=-(x-1)(2x^2+x+1)/x
令g(x)的导数=x+1/x-2x^2=-(2x^3-x^2-1)/x=-(x-1)(2x^2+x+1)/x>0得 x<1
令g(x)的导数=x+1/x-2x^2=-(2x^3-x^2-1)/x=-(x-1)(2x^2+x+1)/x<0得 x>1
所以g(x)在（负无穷，1）单调递增，在（1，正无穷）单调递减， 所以当x>1时， g(x)>g(1)=-1/3>0
所以当x>1时、1/2x^2+lnx<2/3x^3