Question

复数求极限 求详解!!

f(z)=sin2θ (sin2θ是化简后得出来的,书上算到这后我就看不懂了)
lim(z→0)f(z)等于什么??

Answer 1

说说我的看法：
1、楼主的f(z)=sin2θ这个表达式是值得商榷的！函数f(z)意味着它的变量应该是z，但是表达式的右边却是sin2θ ，那么，这个函数的自变量究竟是z、还是θ 呢？这个不弄清楚，就无法求解。另外，只是根据这个表达式，我们看不出它是个复数。
2、根据lim(z→0)可知自变量应该是z，那么θ就只能看作是常量了，自然sin2θ也是常量了。也就是说，f(z)是不随z而变化的，因此，当z→0时，limf(z)→sin2θ，即f(z)的极限就是sin2θ。严格说，f(z)是没有极限的。
3、一楼把z写成re^(iθ)很费解，凭什么说z与θ有关、而且是z等于re^(iθ) 这么具体的关系？

追问

在复变函数论中,由牛顿级数得出的复数z的三种表达式其中有:
z=re^(iθ)=r(cosθ+i·sinθ)
复数也是包含实数的!!

f(z)=sin2θ 这是我把其中的化简过程省略的,结果就是这样,接下来书上就是
围绕它求 lim(z→0)f(z) 的,就这一步求极限我不懂!!

追答

你这样解释，就把z与θ的关系说清楚了，z=re^(iθ)=r(cosθ+i·sinθ)是复数的标准表达式。
那么在f(z)=sin2θ中，θ就是自变量了，f(z)则是复数z的函数，也就是有三层关系：θ－z－f(z)。 但是f(z)与z的具体关系并没有表述出来，而你要求解的是当z→0时而不是θ→0 时，这就有问题了。大家都知道，复数本身是没有大小的，那么，z→0又如何理解呢？只有z中的r或θ有大小，可以→0。因此，“求 lim(z→0)f(z)” 的提法还是值得商榷的。

Answer 2

1.z=1
所以原式=1+1+...+1=n-1,取极限，不存在
2.z≠1
z+z^2+z^3+……+z^(n-1)
=z(1-z^(n-1))/(1-z)
取极限
1)当|z|<1时
|z^(n-1)|=|z|^(n-1)->0
所以极限为z/(1-z)
2)当|z|>=1时，z^(n-1)不收敛，所以极限不存在

Answer 3

你不妨把z写成re^(iθ),就有：
f(re^(iθ))=sin2θ;
z=re^(iθ)→0显然极限不存在。令r趋于0而辐角值θ任意取即可

追问

没看出直接关联!!
能不能说得一环扣一环的.

追答

复数z写成极坐标形式有2个变量r和θ，上面的函数要是有极限的话，不论r，θ和以何种方式变化，使得z趋于0，其极限应该是固定不变的,倘若有极限，对任意的r和θ应则有：
lim(z →0) f(z) =lim(r→0)f(re^(iθ))=sin2θ;
但是其结果与θ有关，由于θ的任意性，知其发散。极限不存在。
这样还看不懂，我不知道怎么说了````````