Question

已知三角函数f(x)=√3sinx+acosx（a为常数，且a>0)的最大值为2

（1）求a的值

（2）把f(x)表示成Asin(ωx+φ)的形式
（3）求函数f(x)在区间[-π/6，11π/6]上的递增区间

Answer 1

解：f(x)=√3sinx+acosx
（1）函数的最大值为√(√3)²+a²=2
即 3+a²=4 解得 a=1

（2）
f(x)=√3sinx+cosx
=2（√3/2sinx+1/2cosx)
=2sin(x+π/6)

（3）区间[-π/6，11π/6]上，
0≤x+π/6≤2π
所以递增区间为[-π/6，π/3]∪[4π/3，11π/6]
递减区间为[π/3，4π/3]

追问

为什么最大值是√(√3)²+a²=2

追答

这是根据辅助角公式得来的
acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+φ) (其中tanφ=a/b)
因为-1≤sin(A+φ) ≤1，所以最大值为序数平方和的算术平方根。

辅助角公式是必考点，务必要掌握，若有疑问请参考：http://baike.baidu.com/view/896643.htm
不明白欢迎追问！

追问

不好意思，再问一个问题，0≤x+π/6≤2π是如何得出来的，谢谢！

追答

没事，不懂的就要问。

区间[-π/6，11π/6]上，说明 :
-π/6≤x≤11π/6
从而
-π/6+π/6≤x+π/6≤11π/6+π/6
即
0≤x+π/6≤2π

追问

最后再问个问题……0≤x+π/6≤2π是如何得出递增区间为[-π/6，π/3]∪[4π/3，11π/6][-π/6，π/3]∪[4π/3，11π/6]

追答

因为y=sinx在[0，2π]上的递增区间是[0,π/2]U[3π/2,2π]
所以
f(x) =2sin(x+π/6)的递增区间为：[-π/6，π/3]∪[4π/3，11π/6]

也就是分别-π/6就得出所求的递增区间了

Answer 2

解：f(x)=√3sinx+acosx的最大值为2，
∴a=±1
∴f(x)=2sin[x±（π/6）]

Answer 3

f(x)等于sin(x加y).根号(a^2加3),其中cosy等于根号3/根号(3加a^2),siny等于a/根号(3加a^2),显然当sin(x加y)等于1时取得最值，所以a等于1;f(x)等于sin(x加“派”/6)/2;递增区间你看图像啦!

Answer 4

1.a=1
2.2sin(x 派分之三)
3.负的派分之六到五分之六派
对吗？

Answer 5