Question

求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x方+y方-4x-6=0和x方+y方-4y-6=0的交点的圆的方程

Answer 1

两个圆方程分别为：O1:(x-2)^2+y^2=10  O2:x^2+(y-2)^2=10

圆心分别为：O1(2,0). O2(0,2),半径：√10

经过两圆心的直线L1：y/(-2)=(x-2)/2, x+y-2=0

经过A、B两点的直线L2：O1方程减去O2方程得到:x-y=0

点C坐标由直线L：x-y-4=0和直线L1:x+y-2=0可得C(3，-1)

点O1到L2的距离O1D=|2|/√2=√2 

点C到L2的距离CD=|3+1|/√2=2√2

AD^2=AO1^2-O1D^2=(√10)^2-(√2)^2=8

AC^2=AD^2+CD^2=8+(2√2)^2=16

AC=4

所求圆即为以C点为圆心，AC为半径的圆

圆C：(x-3)^2+(y+1)^2=4^2

Answer 2

x方+y方-4x-6=0和x方+y方-4y-6=0的交点是4x+6=4y+6 y=x，2x^2-4x-6=0 x^2-2x-3=0 x=-1,x=3,
所以交点坐标是(-1,-1)(3,3),过这两点的圆的圆心在这两点连线段的垂直平分线上，其方程是
y-1=-(x-1) y=-x+2与x-y-4=0的交点是x=3，y=-1，就是圆心，其到（-1，-1）的距离就是半径为4
所以方程是(x-3)^2+(y+1)^2=16

Answer 3

解：∵经过两圆x方+y方-4x-6=0和x方+y方-4y-6=0的交点
∴圆的方程 ：x²+y²-4x-6+a(x²+y²-4y-6)=0
即（1+a)x²+(1+a)y²-4x-4ay-6-6a=0
∴圆心（2/(1+a),2a/(1+a))
∵ 圆心在直线x-y-4=0上
∴2/(1+a)-2a/(1+a)-4=0
∴a=-1/3
∴所求圆的方程：2/3x²+2/3y²-4x+4/3y-4=0
或者x²+y²-6x+2y-6=0

Answer 4

因为圆上任意两点到圆心距离都相等，所以圆心必定在这两点连线的垂直平分线上，所以我们可以通过求这条垂直平分线与所给圆心所在直线的交点确定圆心，从而求出圆的方程。首先联列2个圆的方程，可求得2个交点分别为点A（-1，-1）点B与（3，3），可求A,B两点的中点为点C（1，1），再求出向量AB的法向量为（-1，1），最后求出AB的垂直平分线方程为y=-x+2，将此方程与给出的x-y-4=0连列，求出圆心为D（3，-1），然后求出DA或者DB得长度（长度为所求圆的半径）等于4，所以所求圆方程为（x-3）^2+(y+1）^2=16

Answer 5

解：设C1：x²-4x+y²-6=0①，C2：x²+y²-4y-6=0②，L：y=x-4③。解①、②式组成的方程组得两交点：（3,3），（-1，-1）。园C3：(x-a)²+(y-b)²=r²④。其中点(a,b)为C3圆心，且在直线L上。因为：点（3,3），（-1，-1）在C3圆上，将两点代入④，(3-a)²+(3-b)²-=r²，(-1-a)²+(-1-b)²=r²，化为：(a-3)²+(b-3)²=r²⑤，(a+1)²+(b+1)²=r²⑥，解⑤、⑥式组成的方程组得：a+b-2=0⑦，∵点(a,b)在直线L上，∴a，b满足③式，将其代入③式得：b=a-4⑧，解⑦、⑧式组成的方程组：得:a=3，b=-1，将其代入⑤、⑥任一式得：r²=16，将a、b、r代入④得C3：(x-3)²+(y+1)²=16，园C3一般式为：x²-6x+y²+2y-6=0。