Question

在锐角三角形ABC中，a b c 分别是角A B C的对边，且√3a-2csinA＝0

①求角c大小
②若C=2，求a+b的最大值

Answer 1

（1）作BD⊥AC于D
则BD=csinA=asinC
由√3a-2csinA＝0，得
√3a=2csinA=2asinC
sinC=（√3）/2
因为是锐角三角形，所以∠C=60°
（2）由a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆半径）得
a+b=2R（sinA+sinB）
≥2R*2√（sinAsinB）（当sinA=sinB时，即∠A=∠B时，等号成立）
当∠A=∠B=（180°-∠C）/2=60°时，a+b有最大值
为a+b=c/sin60°（sin60°+sin60°）
=2c=2*2=4
所以若C=2，求a+b的最大值是4

Answer 2

√3a－2csinA=0
则：
√3sinA－2sinCsinA=0
√3sinA=2sinCsinA
因为：sinA≠0，则：
sinC=√3/2
由于三角形ABC是锐角三角形，则：
C=60°

c=2，且：c²=a²＋b²－2abcosC
即：c²=a²＋b²－ab
因为：ab≤[(a＋b)/2]²
则：
c²=(a＋b)²－3ab≥(a＋b)²－3[(a＋b)/2]²=(1/4)(a＋b)²
得：
(a＋b)²≤4c²
(a＋b)²≤16
得：a＋b≤4
即：a＋b的最大值是4

Answer 3

√3a-2csinA＝0
√3sinA-2sinCsinA＝0
sinA(√3-2sinC)=0
sinA不为0
√3-2sinC=0
sinC＝√3/2
C=π/3
A+B=2π/3
B=2π/3-A
C/sinC=a/sinA,C/sinC=b/sinB
a=CsinA/sinC,b=CsinB/sinC
a+b=C/sinC(sinA+sinB)=2/√3/2(sinA+sinB)=4√3/3(sinA+sinB)
=4√3/3[sinA+sin(2π/3-A)]
=4√3/3[sinA+√3/2cosA+1/2sinA]
=4√3/3(3/2sinA+√3/2cosA)
=4(√3/2sinA+1/2cosA)
=4sin(A+π/6)
sin(A+π/6)最大值=1
4sin(A+π/6)最大值=4
a+b的最大值=4