Question

设函数f(x)=x^2+px+q 已知集合A={x|f(x)=x}, 集合B={x|[f(fx)]=x} 证明A包含于B

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Answer 1

【证明】任意取一个x0属于集合A，那么有x0^2+px0+q=x0 1式 成立
下面证明这个x0属于B集合
f(f（x0）)=（x0^2+px0+q)^2+p(x0^2+px0+q)+q由1式有f(f（x0）)=x0^2+px0+q=x0
故x0满足B集合条件，故x0是B集合中的元素
由定义A包含于B

Answer 2

证明：A包含于B的充分性
x① =f(x①)
=x①^2+px①+q
f[f(x①)] =(x①^2+px①+q)^2+p(x①^2+px①+q)+q
=x①^2+px①+q
=x①
即：f[f(x)]=x

Answer 3

当A为空集时，显然B也为空集，此时A=B，也等价于A包含于B当A不为空集时，存在一个X使得f(x)=x，由二次函数对称性可知，同时存在令一个 X1 使得f(x1)=x，这样的X1也会使得[f(fx)]=x成立，这样就满足了可由A推得B，而由B无法推得A。所以A包含于B综上所述，A包含于B