Question

如图，在RT三角形ABC中，角ACB＝90度，D是AB边上一点，以BD为直径的圆O与边A

如图，在RT三角形ABC中，角ACB＝90度，D是AB边上一点，以BD为直径的圆O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F。求BD＝BF；若BC＝12，AD＝8，求BF的长

Answer 1

弦切角=圆周角
∠AED =∠ABE

∠FEC 和 ∠FBE都是∠F的余角

∠FEC = ∠FBE

∠FEC∠AED是对顶角

∠FEC= ∠AED

所以∠ABE = ∠FBE

∠F, ∠BDE分别是∠ABE ∠FBE的余角

所以∠F=∠BDE

BD＝BF

BF= BD=2R
RT三角形AEO RT三角形ACB相似
OE/12 = AO/AB

R/12 = (8+R)/(8+2R）
R*（8+2R）= 12（8+R）
2R^2 -4R -12*8 =0
R^2 -2R -48 =0

(R+6)(R-8)=0

所以 R=8
BF= 2R=16

Answer 2

连OE，BE则：
OE垂直于AC（切点） 角C=90度 所以 OE//BC
角EBC=角OEB=角OBE（三角形OEB为等腰）
所以BE为角B的平分线
又，BD为直径，所以角DEB为直角
DF垂直于BE
所以三角形DBE与FBE全等
BD=BF
OA/AB=OE/BC
(AD+OD)/(AD+OD+OB=OE/BC
OE=OD=OB=R
(8+R)/(8+2R)=R/12
R^2-2R-48=0
(R-8)(R+6)=0
R=8
DB=2*8=16

Answer 3

设以BD为直径的圆的圆心为O，因为圆与AC相切于E，所以OE垂直AC于E，所以OE平行与BF，角DFB=角DEO，因为OD=OE，所以角DEO=角ODE，所以角DFB=角BDF，所以BD＝BF。
因为BD＝BF，设圆的半径为x，BF=BD=2x，三角型AEO与三角型ACB相似，EO/CB=AO/AB，x/12=（8+x）/(8+2x)，解得x=8，所以BF=16。

Answer 4

自己想去