Question

如图,已知A(-2,4)B(1,0)在Y=mx的平方+2mx+n上，向上平移上述抛物线

设平移后A的对应值为A’点B对应点B’，若平行四边形AA'BB'为菱形，求平移后抛物线解析式

Answer 1

1）由于抛物线经过A （-2，4）和点B （1，0），则有：
{4m-4m+n=4m+2m+n=0，解得{m=-43n=4；
故m=-43，n=4．

（2）由（1）得：y=-43x2-83x+4=-43（x+1）2+163；
由A （-2，4）、B （1，0），可得AB=（1+2）2+（0-4）2=5；
若四边形A A′B′B为菱形，则AB=BB′=5，即B′（6，0）；
故抛物线需向右平移5个单位，即：
y=-43（x+1-5）2+163=-43（x-4）2+163．

（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；
∵A（-2，4），B′（6，0），
∴直线AB′：y=-12x+3；
当x=4时，y=1，故C（4，1）；
所以：AC=35，B′C=5，BC=10；
由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：
①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：
B′CAB=B′DAC，即55=B′D35，B′D=3，
此时D（3，0）；
②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：
B′CAC=B′DAB，即535=B′D5，B′D=53，
此时D（133，0）；
综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（133，0）．