Question

高等数学线性代数问题

设二次型f(x,y,z)=x^2+ay^2+z^2+2bxy+2xz+2yz可以通过正交变换化为f=m^2+4n^2，则a=？b=？
解答是把A列出来，直接说他的特征值是0,1,4.我很奇怪啊，这怎么求出来的啊，这里面有2个未知数呢！！
再解除特征值之后呢？又应该怎么做？
求详解，万分感谢！！！

Answer 1

二次型f=x'Ax通过正交变换化成标准型y'By（B是对角矩阵），则存在正交矩阵C，使得C'AC=B。此时对称矩阵A与B合同。
因为C是正交矩阵，C'与C的逆矩阵是一样的，所以A与B也还是相似的。相似矩阵有相同的特征值，所以A的特征值就是对角矩阵B的对角线元素。
所以只要n元二次型通过正交变换化成了标准型，那么标准型里面的那些平方项的系数就是二次型的矩阵的特征值（如果平方项的个数小于n，剩余特征值皆为0）。

求出A的特征值为1,4,0后，行列式|A|等于特征值之积，A的对角线元素之和等于特征值之和。这样得到|A|=2b-b^2-1-=0，1+a+1=1+4+0，所以a=3，b=1。

Answer 2

f(x,y,z)=x^2+ay^2+z^2+2bxy+2xz+2yz可以通过正交变换化为f=m^2+4n^2

则特征值相同, 故为 1,4,0
A=
1 b 1
b a 1
1 1 1
所以有 1+a+1 = 1+4+0, 得 a= 3.
再由 |A| = 0 = -(b-1)^2 得 b = 1.

Answer 3

f化为标准型后，标准型的系数就是特征值嘛，所以特征矩阵A的特征值就是0 1 4
楼主对二次型化标准型理解不深刻。