Question

如图,直线y=-x+b(b＞0)与双曲线y=k/x(x＞0)交于A,B两点,连接OA,OB、AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，有以下结论

①OA=OB②△AOM全等于△BON③诺∠AOB=45°，则S△AOB=k。（要过程，不要文字说明，不能用韦达定理，应为还没学，谢谢...）

Answer 1

 

根据反比例函数的性质，比较简单的

 

 

 

y=x是一、三象限的角平分线

y=-x是二、四象限的角平分线

 

y=x与y=- x互相垂直

AB的直线y=-x+b

∴OP⊥AB

 

y=k/x关于y=x是对称的

AB⊥OP

∴PA=PB

 

∴OP是AB的中垂线

∴OB=OA

∠4=∠2

 

 

 

② 

∠3=45°- ∠4

∠1=45°- ∠2

 

∴∠1=∠3

 

又∠AMO=∠BNO=90°

OB=OA

 

∴△AOM≌△BON

 

 

③∠AOB=45°

∴∠4+ ∠2=45°

 

又∠1+ ∠2=45°

∴∠4＝ ∠1

 

又∠APO=∠BNO=90°

OB=OA

∴△AOP≌△BON

 

 

S△AOP=S△BON=1/2k

 

S△AOB=2*S△AOP=K

Answer 2

解：由y=-x+b(b＞0)及y=k/x(x＞0)
求得 x1=(b+√(b^2-4k))/2
x2=(b-√(b^2-4k))/2
y1=(b-√(b^2-4k))/2
y2=(b+√(b^2-4k))/2
从而 ON=x1=(b+√(b^2-4k))/2
OM=y2=(b+√(b^2-4k))/2
BN=y1=(b-√(b^2-4k))/2
AM=x2=(b-√(b^2-4k))/2
在直角三角形AOM与BON中
∵OM=ON AM=BN ∠AMO=90度=∠BNO
∴AOM≌BON(斜边，直角边)
从而 OA=OB(全等三角形对应边相等)
∠AOM=∠BON
若 ∠AOB=45°
则 ∠AOM=∠BON=(90度-∠AOB)/2=(90°-45°)/2=45°/2
从O点作OD⊥AB交AB于D点
则 ∠AOD=∠BOD=45°/2
可得 AOD≌AOM BOD≌BON
从而 S△AOB=S△AOM+S△BON
又 S△AOM=x2*y2/2=(b-√(b^2-4k))/2*(b+√(b^2-4k))/2*1/2=k/2
S△BON=x1*y1/2=(b+√(b^2-4k))/2*(b-√(b^2-4k))/2*1/2=k/2
从而 S△AOM+S△BON=k/2+k/2=k
∴S△AOB=S△AOM+S△BON=k