Question

已知函数f（x）=loga（ax^2+2x+1）

（1）若a=1/2，求函数f(x)的定义域及单调区间。
（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围
（3）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围。

Answer 1

1.定义域
x²/2+2x+1>0
(x+2)²/2-1>0
定义域为x<-2-√2或x>-2+√2
底数a=1/2小于0，对数函数单调减
根据复合函数的增减性
在(-∞,-2-√2)上单调增
在(-2+√2,+∞)上单调减

2.若值域为R
说明二次方程ax²+2x+1=0没有根（楼上那位做错了）
则Δ=4-4a<0
a>1

3.
若f(x)的值域为R
说明ax²+2x+1=0取值范围是(0,+∞)
因此a>0
且Δ=4-4a≥0
0<a≤1
注意到a是底数不能为1
因此0<a<1

如果认为讲解不够清楚，请追问。
祝：学习进步

追问

能不能把第三问用数学方式再写一遍，我没有看懂，就是像平时做题的那样

追答

f（x）=loga（ax^2+2x+1）
a>0且a≠1
f(x)的值域为R
所以ax²+2x+1的值域为(0,+∞)
则Δ=4-4a≥0
a≤1
综上
0<a<1

其实我个人认为刚才那样的写法，写到试卷上没什么问题啊，如果是哪一步不懂，请具体指出，我好详细给您讲解！

Answer 2

1/2x^2+2x+1>0 x<-2-√2,x>-2+√2
因为a<1
x<-2-√2递增，x>-2+√2递减

当a=0，不成立
当a≠0，定义域为R
ax^2+2x+1>0恒成立
a只有>0
△<0
4-4a<0
a>1
综上，a>1

值域为R
0<a<1

Answer 3

（1）.定义域为（-无穷，-2^(1/2)-2),(2^(1/2)-2,+无穷），在第一个区间上单调递增，第二个上单调递减。
2.二次函数恒大于0，即4-4a<0，即a>1.
3.值域为R,即ax^2+2x+1的值域从0（闭区间）到正无穷，a>0，且a<1.