在矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE交CD于E,连接AE,EF⊥AE交BC于F,若AB=8,AD=5,求BF的 5
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解:(见原图)
BE平分直角∠B 则∠CEB=∠CBE=45度 CE=BC
设CF=x 则BF=5-x
EF^2=x^2+5^2
AF^2=AE^2+EF^2
=(AD^2+DE^2)+(x^2+5^2)
=(25+9)+(x^2+25)=x^2+59
又AF^2=AB^2+BF^2
=8^2+(5-x)^2=64+x^2-10x+25=x^2-10x+89
∴x^2+59=x^2-10x+89
解出x=3
得BF=5-3=2
故所求的BF的长等于2
另解:
∵∠AEF=90度 ∠B=90度
∴A、E、F、B四点共圆
∴∠EAF=∠EBF(在同圆中,同弦的圆周角相等)
同理 ∠AFE=∠ABE
而∠EBF=∠ABE=45度
∴∠EAF=∠AFE
∴EF=EA
又∠EFC=∠EAB(圆外角等于内对角)
而∠EAB=∠AED
∴∠EFC=∠AED
Rt△EFC≌Rt△AED
∴CF=DE=CD-CE=8-5=3
从而 BF=BC-CF=5-3=2
BE平分直角∠B 则∠CEB=∠CBE=45度 CE=BC
设CF=x 则BF=5-x
EF^2=x^2+5^2
AF^2=AE^2+EF^2
=(AD^2+DE^2)+(x^2+5^2)
=(25+9)+(x^2+25)=x^2+59
又AF^2=AB^2+BF^2
=8^2+(5-x)^2=64+x^2-10x+25=x^2-10x+89
∴x^2+59=x^2-10x+89
解出x=3
得BF=5-3=2
故所求的BF的长等于2
另解:
∵∠AEF=90度 ∠B=90度
∴A、E、F、B四点共圆
∴∠EAF=∠EBF(在同圆中,同弦的圆周角相等)
同理 ∠AFE=∠ABE
而∠EBF=∠ABE=45度
∴∠EAF=∠AFE
∴EF=EA
又∠EFC=∠EAB(圆外角等于内对角)
而∠EAB=∠AED
∴∠EFC=∠AED
Rt△EFC≌Rt△AED
∴CF=DE=CD-CE=8-5=3
从而 BF=BC-CF=5-3=2
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