Question

用数学归纳法证明3^4n+1+5^2n+1能被8整除,当n=k+1时,对于3^4(k+1)+5^2(k+1)+1可变形为()

Answer 1

n＝1时，3^5+5^3=368，能被8整除

假设n＝k时，3^(4k+1)+5^(2k+1)能被8整除

则，n＝k+1时

3^[4(k+1)+1]+5^[2(k+1)+1]

=3^(4k+1)×3^4+5^(2k+1)×5^2

=81×[3^(4k+1)]+[25×5^(2k+1)]

=25×[3^(4k+1)+5^(2k+1)]+56×[3^(4k+1)]

=25×[3^(4k+1)+5^(2k+1)]+7×8×[3^(4k+1)]

由假设，3^(4k+1)+5^(2k+1)能被8整除

可得，3^[4(k+1)+1]+5^[2(k+1)+1]能被8整除

所以假设成立，3^4n+1+5^2n+1能被8整除

如果是填空题，括号内应该填 25×[3^(4k+1)+5^(2k+1)]+7×8×[3^(4k+1)]

Answer 2

3^{4[k+1]+1}+5^{2[k+1]+1}
=3^{(4k+1)+4}+5^{(2k+1)+2}
={3^(4k+1)*3^4}+{5^(2k+1)*5^2}
=81*3^(4k+1)+25*5^(2k+1)
=25*{3^(4k+1)+25*5^(2k+1)}+56*3^(4k+1)
3^(4k+1)+25*5^(2k+1)能被8整除,所以25*3^(4k+1)+25*5^(2k+1)能被8整除。
56*3^(4k+1)能被8整除
所以25*{3^(4k+1)+25*5^(2k+1)}+56*3^(4k+1)能被8整除。
3^{4[k+1]+1}+5^{2[k+1]+1}能被8整除

很高兴为您解答，祝你学习进步！
【梦华幻斗】团队为您答题。有不明白的可以追问！
如果您认可我的回答。请点击下面的【选为满意回答】按钮，同时可以【赞同】一下，谢谢！

Answer 3

3^{4[k+1]+1}+5^{2[k+1]+1}
=3^{(4k+1)+4}+5^{(2k+1)+2}
={3^(4k+1)*3^4}+{5^(2k+1)*5^2}
=81*3^(4k+1)+25*5^(2k+1)
=25*{3^(4k+1)+25*5^(2k+1)}+56*3^(4k+1)
3^(4k+1)+25*5^(2k+1)能被8整除,所以25*3^(4k+1)+25*5^(2k+1)能被8整除。
56*3^(4k+1)能被8整除
所以25*{3^(4k+1)+25*5^(2k+1)}+56*3^(4k+1)能被8整除。
3^{4[k+1]+1}+5^{2[k+1]+1}能被8整除

Answer 4

3^（4n+1）+5^（2n+1）

假设
3^（4k+1）+5^（2k+1）能背8整除
当n=k+1时，
3^[4(k+1)+1] + 5^[2(k+1)+1]

=81x3^（4k+1）+25x5^（2k+1）
=80x3^（4k+1）+24x5^（2k+1）+3^（4k+1）+5^（2k+1）
已知80x3^（4k+1）+24x5^（2k+1）=8x[10x3^（4k+1）+3x5^（2k+1）]，能被8整除
且3^（4k+1）+5^（2k+1）能被8整除；
则3^[4(k+1)+1] + 5^[2(k+1)+1]能被8整除