Question

如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2a,AA'=AD=a,E为C'D'的中点.

1).求证：平面BCE垂直平面BDE.
2)求二面角E-BD-C的大小.

Answer 1

1）连接BE、CE、DE、BD，由E为C'D'的中点可知，∴ CE⊥DE，DE=CE=a√2；

BE=√(BC²+CE²)=√(a²+2a²)=a√3，BD=√(BC²+CD²)=√(a²+4a²)=a√5；

故 BD²=BE²+DE²，∴ BE⊥DE，DE⊥平面BCE，∴ 平面BDE⊥平面BCE；

2）作EF⊥BD交BD于F，FG⊥BD交于CD于G，见上图，则∠EFG即为所求二面角E-BD-C；

在RT△BED中，BE*DE=BD*EF，∴ EF=BE*DE/BD=a√3*√2/√5=a√30/5，

在RT△EFD中，DF=√(DE²-EF²)=a√[2-(6/5)]=2a√5/5；

在RT△DFG中，FG=DF*tan(∠BDC)=2a√5/5*(BC/CD)=a√5/5；

在RT△EGF中，cos∠EFG=FG/EF=(a√5/5)/(a√30/5)=√6/6；

∠EFG=arccos(√6/6)；

Answer 2

没看到上传的图啊