Question

一个四位数是平方数，它的前两为数字相同，后两位数字也相同，这四位数是？详解。

Answer 1

试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。【分析与解】设此数为aabb，则：aabb=a0b*11此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11︱a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。直接验算，可知此数为7744=88。

Answer 2

由于前两位数字相同，后两位相同，设这个数为AABB，AABB/11=A0B，所以它是11的倍数，由于是平方数，所以是121的倍数，即A0B可以被11整除，且所得也是平方数，11×64=704.所以这个数是121×64=7744

Answer 3

四位数可以表示成 a×1000＋a×100＋b×10＋b ＝a×1100＋b×11 ＝11×（a×100＋b） 因为a×100＋b必须被11整除，所以a＋b＝11，带入上式得 四位数＝11×（a×100＋（11－a）） ＝11×（a×99＋11） ＝11×11×（9a+1) 只要9a＋1是完全平方数就行了。 由a＝2、3、4、5、6、7、8、9验证得， 9a＋1＝19、28、27、46、55、64、73。 所以只有a＝7一个解；b＝4。 因此四位数是7744＝11^2×8^2=88×88。