Question

如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点

如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C点出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动），求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，OB=2OA；
∵∠ABC=90°，易得△ABO∽△BCO，
∴AO：BO=BO：OC，即OC=2OB=4，
∴C（4，0）．

（2）设抛物线方程为y=ax2+bx+c（a≠0），依题意有：
a-b+c=016a+4b+c=0c=2，
解得 a=- 12b= 32c=2；
∴抛物线的解析式为y=- 12x2+ 32x+2．

（3）∵OB=2，OC=4，
∴BC=2 5；
则：BP=t，CP=2 5-t，CQ=t；
①CP=CQ，则有：2 5-t=t，
解得：t= 5；
②CQ=QP，过Q作QM′⊥BC于M′，则有：
CM′= 12（2 5-t）；
易证△CQM′∽△CBO，
则： CQCB= CM′OC，
即 t2 5= 12(2 5-t)4，
解得：t= 104+ 5= 40-10 511；
③CP=PQ，过P作PN⊥OC于N，则：
CN= 12CQ= 12t；
易证△CNP∽△COB，则有： CNOC= CPCB，
即 12t4= 2 5-t2 5，
解得t= 8 54+ 5= 32 5-4011；
综上所述，当t= 5或 40-10 511或 32 5-4011时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．

（4）由（3）知：当CP=CQ时，BP=t= 5= 12BC，即P是BC的中点，
∵B（0，2），C（4，0），
∴P（2，1）；
∴直线OP的解析式为：y= 12x；
联立抛物线的解析式有：
y=- 12x2+ 32x+2y= 12x，
解得 x=1+ 5y= 1+ 52， x=1- 5y= 1- 52；
∴直线OP与抛物线的交点为（1+ 5， 1+ 52），（1- 5， 1- 52）．

Answer 2