Question

如图，已知四棱椎P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=2。

1.求证：AB∥平面PCD;2.求四棱锥P-ABCD的体积。

Answer 1

1.∵CD为平面ABCD与平面PCD的交线
　　AB∥CD
　∴AB∥平面PCD
2.V＝1／3PA×1／2（AB＋CD）×AD
　　过点C做CE⊥AB，垂足为E，则四边形AECD为矩形
　　　∴AD＝CE，AE＝CD＝1
　　　∴BE＝AB－AE＝1
　　　在直角三角形BEC中，∠EBC=45°所以，EC＝BE＝1
所以四棱锥的体积V＝1

Answer 2

证明:AB∥CD，且AB在平面PCD内，而AB不在平面PCD内，∴AB∥平面PCD，解;∵PA⊥平面ABCD，∴PA为四棱锥P﹣ABCD的高，∵∠ABC＝45°，易求得梯形ABCD的高为1，∴梯形ABCD的面积为﹙1＋2﹚×1／2＝3／2，从而四棱锥P﹣ABCD的体积为1／3×3／2×2＝1