Question

如图在△ABC中,∠C=90°,以AB上一点O为圆心,OA长为半径

第二问中 如果用半径等于四分之十五就无法得到四边形BDEF为菱形 为什么？？
（I）若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；
（Ⅱ）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）因为 角C=90度,OD⊥BC
所以 OD//AC,
OD/AC=OB/AB
设 ⊙O半径=r 即 OD=OA=OF=OE=r
又 AC=6，AB=10 故: BC=10
所以 r/6=(10-r)/10
解得： r=15/4

（2）因为DEFB为平行四边形，所以DE//AB
又因为OD//AC（角ODB为直角）
所以AEDO为平行四边形
得DE=OA
因为OA=OE=OD=OF
所以DE//且等于OF
所以EOFD为菱形。
（3）至于你刚开始那一问。我们可以活用第一题的条件，假设AC=6，AB=10，根据勾股定理知BC=8。因为三角形ABC相似于三角形OBD ，所以OD/AC=BD/BC 即15/4/6=BD/8 BD=5。BF=AB-AF=10-15/2不等于BD。。。邻边都不相等 四边形BDEF为不是菱形

Answer 2

：（Ⅰ）连接OD． 设⊙O的半径为r．
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC．
又∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
OD/AC=OB/AB
r/6=(10-r)/10
r=15/4
(2)证明：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠B．
∵∠DEF=1/2∠DOB，
∴∠B=1/2∠DOB．
∵∠ODB=90°，
∴∠DOB+∠B=3/2∠DOB=90°，
∴∠DOB=60°．
∵在平行四边形BDEF中，DE∥AB，
∴∠ODE=∠DOB=60°．
∵半径OD=OE，
∴△ODE是等边三角形．
∴OD=DE=OF，
即四边形OFDE的对边DE与OF平行且相等
∴四边形OFDE是平行四边形．
又∵邻边OE=OF，
∴平行四边形OFDE是菱形．